Teorema lui Pitagora: fundal, dovezi, exemple de aplicare practică. Fapte interesante despre teorema lui Pitagora: aflăm lucruri noi despre celebra teoremă (15 fotografii) De ce pantalonii lui Pitagora sunt egali în toate direcțiile

» Profesor onorat de matematică la Universitatea din Warwick, un cunoscut popularizator al științei Ian Stewart, dedicat rolului numerelor în istoria omenirii și relevanței studiului lor în timpul nostru.

Ipotenuza pitagoreică

Triunghiurile pitagoreice au un unghi drept și laturi întregi. În cea mai simplă dintre ele, cea mai lungă latură are lungimea de 5, restul sunt 3 și 4. Sunt 5 poliedre regulate în total. O ecuație de gradul cinci nu poate fi rezolvată cu rădăcini de gradul cinci - sau orice alte rădăcini. Rețelele în plan și în spațiul tridimensional nu au o simetrie de rotație cu cinci lobi; prin urmare, astfel de simetrii sunt absente și în cristale. Cu toate acestea, ele pot fi în rețele din spațiul cu patru dimensiuni și în structuri interesante cunoscute sub numele de cvasicristale.

Hipotenuza celui mai mic triplu pitagoreic

Teorema lui Pitagora afirmă că cea mai lungă latură a unui triunghi dreptunghic (numita ipotenuză) se corelează cu celelalte două laturi ale acestui triunghi într-un mod foarte simplu și frumos: pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor celuilalt. două părți.

În mod tradițional, numim această teoremă după Pitagora, dar de fapt istoria ei este destul de vagă. Tăblițele de lut sugerează că vechii babilonieni cunoșteau teorema lui Pitagora cu mult înaintea lui Pitagora însuși; gloria descoperitorului i-a fost adusă de cultul matematic al pitagoreenilor, ai căror susținători credeau că universul se bazează pe modele numerice. Autorii antici au atribuit pitagoreenilor - și, prin urmare, lui Pitagora - o varietate de teoreme matematice, dar de fapt nu avem idee în ce fel de matematică s-a angajat Pitagora însuși. Nici măcar nu știm dacă pitagoreenii ar putea demonstra teorema lui Pitagora sau dacă pur și simplu credeau că este adevărată. Sau, mai probabil, aveau date convingătoare despre adevărul ei, care totuși nu ar fi fost suficiente pentru ceea ce considerăm astăzi dovadă.

Dovada lui Pitagora

Prima demonstrație cunoscută a teoremei lui Pitagora se găsește în Elementele lui Euclid. Aceasta este o dovadă destul de complicată folosind un desen pe care școlarii victoriani l-ar recunoaște imediat drept „pantaloni pitagoreici”; desenul seamănă cu adevărat cu chiloții care se usucă pe o frânghie. Literal, sunt cunoscute sute de alte dovezi, dintre care majoritatea fac afirmația mai evidentă.

// Orez. 33. Pantaloni pitagoreici

Una dintre cele mai simple dovezi este un fel de puzzle matematic. Luați orice triunghi dreptunghic, faceți patru copii ale acestuia și colectați-le în interiorul pătratului. Cu o singură așezare, vedem un pătrat pe ipotenuză; cu celălalt - pătrate pe celelalte două laturi ale triunghiului. Este clar că suprafețele în ambele cazuri sunt egale.

// Orez. 34. Stânga: pătrat pe ipotenuză (plus patru triunghiuri). Dreapta: suma pătratelor de pe celelalte două laturi (plus aceleași patru triunghiuri). Acum eliminați triunghiurile

Disecția lui Perigal este o altă dovadă a puzzle-ului.

// Orez. 35. Disecția lui Perigal

Există, de asemenea, o demonstrație a teoremei folosind stivuirea pătratelor pe plan. Poate așa au descoperit pitagoreenii sau predecesorii lor necunoscuți această teoremă. Dacă vă uitați la modul în care pătratul oblic se suprapune pe celelalte două pătrate, puteți vedea cum să tăiați pătratul mare în bucăți și apoi să le puneți împreună în două pătrate mai mici. De asemenea, puteți vedea triunghiuri dreptunghiulare, ale căror laturi dau dimensiunile celor trei pătrate implicate.

// Orez. 36. Dovada prin pavaj

Există dovezi interesante folosind triunghiuri similare în trigonometrie. Sunt cunoscute cel puțin cincizeci de dovezi diferite.

tripleți pitagoreici

În teoria numerelor, teorema lui Pitagora a devenit sursa unei idei fructuoase: de a găsi soluții întregi la ecuații algebrice. Un triplu pitagoreic este o mulțime de numere întregi a, b și c astfel încât

Geometric, un astfel de triplu definește un triunghi dreptunghic cu laturile întregi.

Cea mai mică ipotenuză a unui triplu pitagoreic este 5.

Celelalte două laturi ale acestui triunghi sunt 3 și 4. Aici

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

Următoarea cea mai mare ipotenuză este 10 deoarece

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

Cu toate acestea, acesta este în esență același triunghi cu laturile dublate. Următoarea ipotenuză cea mai mare și cu adevărat diferită este 13, pentru care

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

Euclid știa că există un număr infinit de variații diferite ale triplelor pitagoreice și a dat ceea ce s-ar putea numi o formulă pentru a le găsi pe toate. Mai târziu, Diophantus din Alexandria a oferit o rețetă simplă, practic aceeași cu Euclidiană.

Luați oricare două numere naturale și calculați:

produsul lor dublu;

diferența dintre pătratele lor;

suma pătratelor lor.

Cele trei numere rezultate vor fi laturile triunghiului lui Pitagora.

Luați, de exemplu, numerele 2 și 1. Calculați:

produs dublu: 2 × 2 × 1 = 4;

diferența de pătrate: 22 - 12 = 3;

suma pătratelor: 22 + 12 = 5,

și am primit faimosul triunghi 3-4-5. Dacă luăm în schimb numerele 3 și 2, obținem:

produs dublu: 2 × 3 × 2 = 12;

diferența de pătrate: 32 - 22 = 5;

suma pătratelor: 32 + 22 = 13,

și obținem următorul triunghi celebru 5 - 12 - 13. Să încercăm să luăm numerele 42 și 23 și să obținem:

produs dublu: 2 × 42 × 23 = 1932;

diferența de pătrate: 422 - 232 = 1235;

suma pătratelor: 422 + 232 = 2293,

nimeni nu a auzit vreodată de triunghiul 1235-1932-2293.

Dar aceste numere funcționează și:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

Există o altă caracteristică a regulii diofantine la care a fost deja sugerată: după ce am primit trei numere, putem lua un alt număr arbitrar și le putem înmulți pe toate cu el. Astfel, un triunghi 3-4-5 poate fi transformat într-un triunghi 6-8-10 înmulțind toate laturile cu 2, sau într-un triunghi 15-20-25 înmulțind totul cu 5.

Dacă trecem la limbajul algebrei, regula ia următoarea formă: fie u, v și k numere naturale. Apoi un triunghi dreptunghic cu laturile

2kuv și k (u2 - v2) are ipotenuză

Există și alte moduri de a prezenta ideea principală, dar toate se rezumă la cea descrisă mai sus. Această metodă vă permite să obțineți toate triplele pitagoreice.

Poliedre regulate

Există exact cinci poliedre regulate. Un poliedru obișnuit (sau poliedru) este o figură tridimensională cu un număr finit de fețe plate. Fațetele converg unele cu altele pe linii numite margini; muchiile se întâlnesc în puncte numite vârfuri.

Punctul culminant al „Principiilor” euclidiene este dovada că pot exista doar cinci poliedre regulate, adică poliedre în care fiecare față este un poligon regulat (laturi egale, unghiuri egale), toate fețele sunt identice și toate vârfurile sunt înconjurate. printr-un număr egal de fețe egal distanțate. Iată cinci poliedre regulate:

tetraedru cu patru fețe triunghiulare, patru vârfuri și șase muchii;

cub, sau hexaedru, cu 6 fețe pătrate, 8 vârfuri și 12 muchii;

octaedru cu 8 fețe triunghiulare, 6 vârfuri și 12 muchii;

dodecaedru cu 12 fețe pentagonale, 20 de vârfuri și 30 de muchii;

icosaedru cu 20 de fețe triunghiulare, 12 vârfuri și 30 de muchii.

// Orez. 37. Cinci poliedre regulate

Poliedre regulate pot fi găsite și în natură. În 1904, Ernst Haeckel a publicat desene ale unor organisme minuscule cunoscute sub numele de radiolari; multe dintre ele au forma acelorași cinci poliedre regulate. Poate, totuși, a corectat ușor natura, iar desenele nu reflectă pe deplin forma unor ființe vii specifice. Primele trei structuri sunt de asemenea observate în cristale. Nu veți găsi un dodecaedru și un icosaedru în cristale, deși acolo se întâlnesc uneori dodecaedre și icosaedre neregulate. Adevărații dodecaedre pot apărea ca cvasicristale, care sunt ca cristalele din toate punctele de vedere, cu excepția faptului că atomii lor nu formează o rețea periodică.

// Orez. 38. Desene de Haeckel: radiolari sub formă de poliedre regulate

// Orez. 39. Dezvoltarea poliedrelor regulate

Poate fi interesant să faci modele de poliedre obișnuite din hârtie prin decuparea mai întâi a unui set de fețe interconectate - aceasta se numește măturare poliedrică; scanarea este pliată de-a lungul marginilor și marginile corespunzătoare sunt lipite împreună. Este util să adăugați o zonă suplimentară pentru lipici la una dintre marginile fiecărei astfel de perechi, așa cum se arată în Fig. 39. Dacă nu există o astfel de platformă, puteți folosi bandă adezivă.

Ecuația gradului al cincilea

Nu există o formulă algebrică pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul 5.

În general, ecuația gradului al cincilea arată astfel:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.

Problema este de a găsi o formulă pentru rezolvarea unei astfel de ecuații (poate avea până la cinci soluții). Experiența în tratarea ecuațiilor pătratice și cubice, precum și a ecuațiilor de gradul al patrulea sugerează că o astfel de formulă ar trebui să existe și pentru ecuațiile de gradul al cincilea și, teoretic, rădăcinile de gradul al cincilea, al treilea și al doilea ar trebui să existe apar în ea. Din nou, se poate presupune cu siguranță că o astfel de formulă, dacă există, se va dovedi a fi foarte, foarte complexă.

Această presupunere s-a dovedit în cele din urmă a fi greșită. Într-adevăr, nu există o astfel de formulă; cel puțin nu există o formulă formată din coeficienții a, b, c, d, e și f, compuse folosind adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea, precum și luarea rădăcinilor. Astfel, există ceva cu totul special la numărul 5. Motivele acestui comportament neobișnuit al celor cinci sunt foarte profunde și a fost nevoie de mult timp pentru a le descoperi.

Primul semn al unei probleme a fost că, oricât de greu ar fi încercat matematicienii să găsească o astfel de formulă, indiferent cât de deștepți ar fi, au eșuat invariabil. De ceva timp, toată lumea a crezut că motivele stau în complexitatea incredibilă a formulei. Se credea că nimeni pur și simplu nu putea înțelege corect această algebră. Cu toate acestea, de-a lungul timpului, unii matematicieni au început să se îndoiască de existența unei astfel de formule, iar în 1823 Niels Hendrik Abel a reușit să demonstreze contrariul. Nu există o astfel de formulă. La scurt timp după aceea, Évariste Galois a găsit o modalitate de a determina dacă o ecuație de un grad sau altul - a 5-a, a 6-a, a 7-a, în general oricare - este rezolvabilă folosind acest tip de formulă.

Concluzia din toate acestea este simplă: numărul 5 este special. Poți decide ecuații algebrice(folosind rădăcini gradul al n-lea pentru diferite valori ale lui n) pentru gradele 1, 2, 3 și 4, dar nu pentru gradul 5. Aici se termină tiparul evident.

Nimeni nu este surprins că ecuațiile puterilor mai mari de 5 se comportă și mai rău; în special, aceeași dificultate este legată de ele: nu există formule generale pentru rezolvarea lor. Aceasta nu înseamnă că ecuațiile nu au soluții; nu înseamnă, de asemenea, că este imposibil să găsiți valori numerice foarte precise ale acestor soluții. Totul este despre limitările instrumentelor tradiționale de algebră. Acest lucru amintește de imposibilitatea trisectării unui unghi cu o riglă și o busolă. Există un răspuns, dar metodele enumerate nu sunt suficiente și nu vă permit să determinați care este acesta.

Limitare cristalografică

Cristalele în două și trei dimensiuni nu au simetrie de rotație cu 5 fascicule.

Atomii dintr-un cristal formează o rețea, adică o structură care se repetă periodic în mai multe direcții independente. De exemplu, modelul de pe tapet se repetă pe toată lungimea rolei; în plus, se repetă de obicei în direcția orizontală, uneori cu o trecere de la o bucată de tapet la alta. În esență, tapetul este un cristal bidimensional.

Există 17 varietăți de modele de tapet pe plan (vezi capitolul 17). Ele diferă prin tipurile de simetrie, adică prin modalitățile de deplasare rigidă a modelului, astfel încât să se afle exact pe sine în poziția sa inițială. Tipurile de simetrie includ, în special, diferite variante de simetrie de rotație, în care modelul trebuie rotit printr-un anumit unghi în jurul unui anumit punct - centrul de simetrie.

Ordinea de simetrie a rotației este de câte ori puteți roti corpul într-un cerc complet, astfel încât toate detaliile imaginii să revină la pozițiile inițiale. De exemplu, o rotație de 90° este simetrie de rotație de ordinul 4*. Lista posibilelor tipuri de simetrie de rotație în rețeaua cristalină indică din nou neobișnuirea numărului 5: nu există. Există variante cu simetrie de rotație de ordinul 2, 3, 4 și 6, dar niciun model de tapet nu are simetrie de rotație de ordinul 5. De asemenea, nu există o simetrie de rotație de ordin mai mare de 6 în cristale, dar prima încălcare a secvenței are loc încă la numărul 5.

Același lucru se întâmplă cu sistemele cristalografice din spațiul tridimensional. Aici zăbrelele se repetă în trei direcții independente. Există 219 tipuri diferite de simetrie, sau 230 dacă luăm în considerare reflectarea în oglindă a modelului ca o versiune separată a acestuia - în plus, în acest caz nu există o simetrie în oglindă. Din nou, se observă simetrii de rotație de ordinele 2, 3, 4 și 6, dar nu 5. Acest fapt se numește constrângere cristalografică.

În spațiul cu patru dimensiuni există rețele cu simetrie de ordinul 5; în general, pentru rețele de dimensiuni suficient de mari, este posibilă orice ordine predeterminată de simetrie de rotație.

// Orez. 40. Rețea cristalină de sare de masă. Bilele întunecate reprezintă atomi de sodiu, bilele luminoase reprezintă atomi de clor.

Quasicristale

În timp ce simetria rotațională de ordinul 5 nu este posibilă în rețelele 2D și 3D, ea poate exista în structuri puțin mai puțin regulate cunoscute sub numele de cvasicristale. Folosind schițele lui Kepler, Roger Penrose a descoperit sisteme plate cu un tip mai general de simetrie de cinci ori. Se numesc cvasicristale.

Cvasicristalele există în natură. În 1984, Daniel Shechtman a descoperit că un aliaj de aluminiu și mangan poate forma cvasicristale; Inițial, cristalografii i-au întâmpinat mesajul cu oarecare scepticism, dar ulterior descoperirea a fost confirmată, iar în 2011, Shechtman a primit Premiul Nobel pentru Chimie. În 2009, o echipă de oameni de știință condusă de Luca Bindi a descoperit cvasi-cristale într-un mineral din Munții Koryak din Rusia - un compus de aluminiu, cupru și fier. Astăzi acest mineral se numește icosaedrit. Măsurând conținutul diverșilor izotopi de oxigen din mineral cu un spectrometru de masă, oamenii de știință au arătat că acest mineral nu își are originea pe Pământ. S-a format în urmă cu aproximativ 4,5 miliarde de ani, într-un moment în care sistemul solar tocmai a apărut și și-a petrecut cea mai mare parte a timpului în centura de asteroizi, orbitând în jurul Soarelui, până când un fel de perturbare și-a schimbat orbita și a adus-o în cele din urmă pe Pământ.

// Orez. 41. Stânga: una dintre cele două rețele cvasicristaline cu simetrie de cinci ori exactă. Dreapta: Model atomic al unui cvasicristal icosaedric de aluminiu-paladiu-mangan

Teorema lui Pitagora este cunoscută de toată lumea încă din vremea școlii. Un matematician remarcabil a dovedit o mare presupunere, care este folosită în prezent de mulți oameni. Regula sună așa: pătratul lungimii ipotenuzei unui triunghi dreptunghic este egal cu suma pătratelor catetelor. Timp de multe decenii, nici un matematician nu a fost capabil să argumenteze această regulă. La urma urmei, Pitagora a mers mult timp spre scopul său, astfel încât, ca urmare, desenele au avut loc în viața de zi cu zi.

1. Un mic vers la această teoremă, care a fost inventat la scurt timp după demonstrație, demonstrează direct proprietățile ipotezei: „Pantalonii pitagoreici sunt egali în toate direcțiile”. Acest două rânduri a fost depus în memoria multor oameni - până în prezent poemul este amintit în calcule.
2. Această teoremă a fost numită „Pantaloni pitagoreici” datorită faptului că la desenul în mijloc s-a obținut un triunghi dreptunghic, pe ale cărui laturi erau pătrate. În aparență, acest desen semăna cu pantaloni - de unde și numele ipotezei.
3. Pitagora era mândru de teorema dezvoltată, deoarece această ipoteză diferă de cele similare prin cantitatea maximă de dovezi. Important: ecuația a fost listată în Cartea Recordurilor Guinness datorită a 370 de dovezi veridice.
4. Ipoteza a fost dovedită de un număr mare de matematicieni și profesori din tari diferite in multe feluri. Matematicianul englez Jones, la scurt timp după anunțarea ipotezei, a demonstrat-o cu ajutorul unei ecuații diferențiale.
5. În prezent, nimeni nu știe demonstrația teoremei lui Pitagora însuși. Faptele despre dovezile unui matematician de astăzi nu sunt cunoscute de nimeni. Se crede că dovada desenelor lui Euclid este dovada lui Pitagora. Cu toate acestea, unii oameni de știință susțin această afirmație: mulți cred că Euclid a demonstrat independent teorema, fără ajutorul creatorului ipotezei.
6. Oamenii de știință actuali au descoperit că marele matematician nu a fost primul care a descoperit această ipoteză.. Ecuația era cunoscută cu mult înainte de descoperirea de către Pitagora. Acest matematician a reușit doar să reunească ipoteza.
7. Pitagora nu a dat ecuației numele „Teorema lui Pitagora”. Acest nume a fost fixat după „cu două linii puternice”. Matematicianul a vrut doar ca întreaga lume să-și recunoască și să-și folosească eforturile și descoperirile.
8. Moritz Kantor - cel mai mare matematician a găsit și a văzut note cu desene pe un papirus antic. La scurt timp după aceea, Cantor și-a dat seama că această teoremă era cunoscută egiptenilor încă din anul 2300 î.Hr. Abia atunci nimeni nu a profitat de asta și nu a încercat să demonstreze.
9. Savanții actuali cred că ipoteza a fost cunoscută încă din secolul al VIII-lea î.Hr. Oamenii de știință indieni din acea vreme au descoperit un calcul aproximativ al ipotenuzei unui triunghi dotat cu unghiuri drepte. Adevărat, la acea vreme nimeni nu putea dovedi cu siguranță ecuația prin calcule aproximative.
10. Marele matematician Bartel van der Waerden, după ce a demonstrat ipoteza, a concluzionat o concluzie importantă: „Meritul matematicianului grec este considerat nu descoperirea direcției și geometriei, ci doar justificarea acesteia. În mâinile lui Pitagora erau formule de calcul care se bazau pe presupuneri, calcule inexacte și idei vagi. Cu toate acestea, remarcabilul om de știință a reușit să o transforme într-o știință exactă.”
11. Un poet celebru a spus că în ziua descoperirii desenului său, a ridicat un sacrificiu glorios pentru tauri.. După descoperirea ipotezei, s-au răspândit zvonuri că sacrificiul a o sută de tauri „a rătăcit prin paginile cărților și publicațiilor”. Wits glumește până astăzi că de atunci toți taurii se tem de o nouă descoperire.
12. Dovadă că Pitagora nu a venit cu o poezie despre pantaloni pentru a dovedi desenele pe care le-a prezentat: în timpul vieţii marelui matematician nu existau încă pantaloni. Au fost inventate câteva decenii mai târziu.
13. Pekka, Leibniz și alți câțiva oameni de știință au încercat să demonstreze teorema cunoscută anterior, dar nimeni nu a reușit.
14. Numele desenelor „Teorema lui Pitagora” înseamnă „persuasiune prin vorbire”. Aceasta este traducerea cuvântului Pitagora, pe care matematicianul l-a luat ca pseudonim.
15. Reflecții ale lui Pitagora asupra propriei sale reguli: secretul a ceea ce există pe pământ constă în numere. La urma urmei, un matematician, bazându-se pe propria sa ipoteză, a studiat proprietățile numerelor, a dezvăluit uniformitatea și neobișnuitatea și a creat proporții.

Sperăm că v-a plăcut selecția de imagini - Fapte interesante despre teorema lui Pitagora: învățăm lucruri noi despre celebra teoremă (15 fotografii) online de bună calitate. Vă rog să vă lăsați părerea în comentarii! Fiecare părere contează pentru noi.

O demonstrație jucăușă a teoremei lui Pitagora; tot în glumă despre pantalonii largi ai unui prieten.

• - triplete de numere întregi pozitive x, y, z care satisfac ecuația x2+y 2=z2...

  Enciclopedie matematică

• - triple de numere naturale astfel încât un triunghi, ale cărui lungimi ale laturilor sunt proporționale cu aceste numere, să fie dreptunghiular, de exemplu. triplu de numere: 3, 4, 5...

  Științele naturii. Dicţionar enciclopedic

• - vezi Racheta de salvare...

  Vocabular marin

• - triple ale numerelor naturale astfel încât un triunghi ale cărui lungimi ale laturilor sunt proporționale cu aceste numere este dreptunghic...

  Marea Enciclopedie Sovietică

• - mil. Neschimbat O expresie folosită la enumerarea sau contrastarea a două fapte, fenomene, circumstanțe...

  Dicţionar frazeologic educaţional

• - Din romanul distopic „Ferma animalelor” al scriitorului englez George Orwell...
• - Pentru prima dată se găsește în satira „Jurnalul unui liberal din Sankt Petersburg” a lui Mihail Evgrafovich Saltykov-Shchedrin, care a descris atât de viu poziția ambivalentă și lașă a liberalilor ruși - lor ...

  Dicționar de cuvinte și expresii înaripate

• - Se spune în cazul în care interlocutorul a încercat să comunice ceva timp îndelungat și indistinct, aglomerat ideea principală cu detalii minore ...

  Dicţionar de frazeologie populară

• - Numărul de butoane este cunoscut. De ce este pula înghesuită? - despre pantaloni si organul genital masculin. . Pentru a demonstra acest lucru, este necesar să înlăturăm și să arătăm 1) despre teorema lui Pitagora; 2) despre pantaloni largi...

  Discurs viu. Dicţionar de expresii colocviale

• - Mier. Nu există nemurire a sufletului, deci nu există virtute, „asta înseamnă că totul este permis”... O teorie seducătoare pentru ticăloși... Un lăudăros, dar esența este totul: pe de o parte, nu se poate. dar mărturisește și, pe de altă parte, nu se poate decât să mărturisească...

  Dicționar explicativ-frazeologic al lui Michelson

• - Pantaloni pitagoreici străin. despre o persoană talentată. mier Acesta este înțeleptul fără îndoială. În antichitate, probabil că ar fi inventat pantalonii pitagoreici... Saltykov. Litere pestrițe...
• - Dintr-o parte - din cealaltă parte. mier Nu există nemurirea sufletului, deci nu există virtute, „înseamnă că totul este permis”... O teorie seducătoare pentru ticăloși.....

  Dicționar frazeologic explicativ Michelson (original orf.)

• - Denumirea comică a teoremei lui Pitagora, care a apărut datorită faptului că pătratele construite pe laturile unui dreptunghi și divergente în direcții diferite seamănă cu tăietura pantalonilor ...
• - PE O MÂNĂ PE CEALALĂ MÂNĂ. Carte...

  Dicționar frazeologic al limbii literare ruse

• - Vezi RANGURI -...

  IN SI. Dal. Proverbe ale poporului rus

• - Zharg. şcoală Navetă. Pitagora. ...

  Dicţionar mare zicale rusești

„Pantalonii pitagoreici sunt egali în toate direcțiile” în cărți

11. Pantaloni pitagoreici