Принцип суперпозиции для магнитных полей. Если магнитное поле создается несколькими проводниками с током, то индукция результирующего поля есть векторная сумма индукций полей, создаваемых каждым проводником в отдельности

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

ХАРАКТЕРИСТИКИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

Магнитное поле - одна из двух сторон электромагнитного поля, характеризующаяся воздействием на электрически заряженную частицу с силой, пропорциональной заряду частицы и ее скорости.

Магнитное поле изображается силовыми линиями, касательные к которым совпадают с ориентацией магнитных стрелок, внесенных в поле (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Магнитное поле плоского магнита

Та­ким образом, магнитные стрелки как бы являются пробными элементами для магнитного поля.

За положительное направление магнитного поля условно принимают направление северного полюса магнитной стрелки.

Можно утверждать, что магнитное поле и электри­ческий ток - взаимосвязанные явления.

Вокруг проводника, в котором существует ток, всегда имеется магнитное поле, и, наоборот, в замк­нутом проводнике, движущемся в магнитном поле, возникает ток.

Рассмотрим количественные характеристики маг­нитного поля.

Магнитная индукция В - векторная вели­чина, характеризующая магнитное поле и определяю­щая силу, действующую на движущуюся заряженную частицу со стороны магнитного поля. Эта характе­ристика является основной характеристикой магнит­ного поля, так как определяет электромагнитную силу, а также ЭДС индукции в проводнике, перемещающем­ся в магнитном поле.

Единицей магнитной индукции является вебер, деленный на квадратный метр, или тесла (Тл): [В] =1Вб/1 м 2 = 1 Тл.

Абсолютная магнитная проницае­мость среды μ а - величина, являющаяся коэф­фициентом, отражающим магнитные свойства среды:

μ а = μ 0 μ г (3.1).

Где μ 0 - магнитная постоянная, характеризующая магнитные свойства вакуума.

[μ 0 ] =Гн/м.

Величину μ г называют относительной маг­нитной проницаемостью среды. Она пока­зывает, во сколько раз индукция поля, созданного током в данной среде, больше или меньше, чем в вакууме, и является безразмерной величиной.

Для большинства материалов проницаемость μ г постоянна и близка к единице. Для ферромагнитных материалов μ г является функцией тока, создающего магнитное поле, и достигает больших значений (10 2 - 10 5).

Напряженность магнитного поля Н- векторная величина, которая не зависит от свойств среды и определяется только токами в проводниках, создающими магнитное поле.

Направление вектора Н (рис. 3.1) для изотропных сред совпадает с вектором В и определяется касательной, проведенной в данной точке поля (точка А) к силовой линии. Напряженность связана с магнитной индукцией соотношением

B = μ а H. (3.2)

Единица напряженности магнитного поля - ампер на метр:

[Н] =1 А/1 м.

Приведенные характеристики магнитного поля яв­ляются основными. Теперь рассмотрим производные характеристики.

Магнитный поток Ф - поток магнитной ин­дукции. На рис. 3.2 показано однородное магнитное поле, пересекающее площадку S. Магнитный поток Ф через площадку S в однородном магнитном поле ра­вен произведению нормальной составляющей вектора индукции В n на площадь S площадки:

Ф = B n S=BS cos β. (3.3)

Магнитное напряжение U M на участ­ке АВ (рис. 3.3, а) в однородном магнитном поле определяется как произ­ведение проекции H L век­тора Н на отрезок АВ и длину этого отрезка /: U м =H L L 3.4

Рис. 3.3. К определению магнитного напряжения

Рис. 3.2. Однородное магнитное поле

Единица магнитного напряжения - ампер (А).

В том случае, когда поле неоднородное или учас­ток, вдоль которого определяется U м не прямолиней­ный (рис. 3.3, б), необходимо разбить этот участок на элементарные отрезки ΔL. Тогда в пределах малого участка ΔL поле можно считать однородным или сам участок прямолинейным и найти ΔU M на участке ΔL:

ΔU м =H L ΔL

Полное магнитное напряжение на участке CD

U м CD =∑H L ΔL 3.5

ЗАКОН ПОЛНОГО ТОКА

Закон полного тока в ряде случаев позволяет установить зависимость между напряженностью магнит­ного поля и создающими его токами.

Рассмотрим произвольный контур длиной L (рис. 3.4), ограничивающий поверхность S. Через эту поверхность проходят токи I 1 и I 2 , создающие магнит­ное поле.

Рис. 3.4. К определению за­кона полного тока

Алгебраическую сумму токов, пронизывающих поверхность, ограниченную замкнутым контуром, на­зывают полным током и обозначают ∑I.

Выберем положительное направление обхода кон­тура, как показано на рис. 3.4. Тогда в соответствии с правилом буравчика тока I 1 положителен, а ток I 2 отрицателен. Для нашего случая полный ток ∑I=I 1 -I 2

Так как магнитное поле неоднородно, магнитное напряжение определяется по формуле (3.5).

Следует помнить, что произведение H L ΔL берут со знаком плюс, если направление проекции H L совпадает с выбранным направлением обхода.

Магнитное напряжение, вычисленное вдоль замкну­того контура, называют магнитодвижущей си­лой (МДС) или намаг­ничивающей силой (HC)F.

Опытным путем установ­лено, что

F=∑I=∑H L ΔL 3.6

Намагничивающая сила вдоль контура равна пол­ному току, проходящему сквозь поверхность, огра­ниченную этим контуром. В этом заключается смысл закона полного тока.

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ТОКА

Магнитное поле прямолинейного проводника с током имеет вид концентрических окружностей (рис. 3.5, а). Направление поля определяют по правилу буравчика. Вследствие симметрии напряженность поля во всех точках, равноудаленных от оси проводника, одина­кова. В качестве контура выберем окружность ра­диусом г, совпадающую с силовой линией поля. Так как контур совпадает с магнитной линией, длина век­тора напряженности и его проекция на касательную в любой точке равны между собой: H L = H r .

НС находим по формуле (3.5): F=∑H L ΔL= ∑H r ΔL. Так как Н г во всех точках контура радиуса r одина­кова, то

F=∑H r ΔL =2πrH r

Полный ток ∑I =I. Следовательно,

I=2πrH r (3.7) откуда Н г = I/2πr Эта формула справед­лива для проводника бесконечной длины, но практически ею пользуются и тогда когда длина проводника значительно больше расстояния r.

Рис. 3.5. Магнитное поле пря­молинейного тока (а), опреде­ление Я при г, соизмеримом с / (б)

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ КОЛЬЦЕВОЙ И ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ КАТУШЕК

Магнитное поле кольцевой катушки имеет вид концентрических окружностей и сосредоточено внут­ри катушки (рис. 3.6). Направление поля опреде­ляется по правилу правой руки: если правую руку расположить вдоль катушки так, чтобы четыре паль­ца совпадали с направлением тока в витках катушки, то отогнутый большой палец покажет направление поля.

Рис. 3.6. Магнитное поле кольцевой катушки

Рис. 3.7. Магнитное поле длинной (а) и короткой (б) цилиндрических катушек

При симметричной намотке катушки напряжен­ность Н во всех точках, равноудаленных от центра, будет одинакова. Рассмотрим контур, совпадающий с магнитной линией радиусом г. Поверхность, ограни­ченную этим контуром, пересекает полный ток ∑I =Iw , где w - число витков катушки.

НС вдоль этого контура F = Н г -2πr = Н г L, где L = 2πr - длина контура.

Применив закон полного тока, получим

H r = Iw/r. (3.8)

Эта формула справедлива для определения напря­женности поля в точках средней части цилиндрической катушки (рис. 3.7, а) при условии, что L>>D. Необ­ходимо обратить внимание на то, что конфигурация поля такой катушки аналогична конфигурации поля плоского магнита.

НАМАГНИЧИВАНИЕ ФЕРРОМАГНИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ

Материалы, обладающие большой магнитной про­ницаемостью, называют ферромагнитными. К ним относятся железо, никель, кобальт и их сплавы. Оказавшись во внешнем магнитном поле, эти матери­алы значительно усиливают его. Это явление упро­щенно можно объяснить таким образом.

Ферромагнитные материалы имеют области само­произвольного намагничивания. Магнитное состояние каждой из таких областей характеризуется вектором намагниченности. Векторы намагниченности отдельных областей (доменов) ориентированы случайным обра­зом. Поэтому намагниченность ферромагнитных тел в отсутствие внешнего магнитного поля не проявля­ется.

Если ферромагнитное тело поместить во внешнее магнитное поле, то под его воздействием произойдут изменения, в результате которых векторы намагни­ченности отдельных областей самопроизвольного на­магничивания будут ориентированы в направлении внешнего поля. Индукция результирующего магнит­ного поля будет определяться как индукцией внешнего поля, так и магнитной индукцией отдельных доменов, т. е. результирующее значение индукции будет намно­го превышать ее начальное значение. Таким образом, суммарное магнитное поле значительно превысит внешнее поле.

Магнитное состояние ферромагнитного поля и ха­рактеризуется кривой намагничивания. Рассмотрим процесс намагничивания ферромагнитного сердечни­ка, помещенного в катушку с током (рис. 3.8).

Предположим сначала, что сердечник отсутствует. Тогда при увеличении тока в катушке магнитная ин­дукция меняется по линейному закону, так как

В 0 = μ 0 Н (рис. 3.9).

Рис. 3.8. К описа­нию процесса на­магничивания фер­ромагнитного сер­дечника Рис. 3.9. Кривая на­магничивания же­леза

Теперь будем полагать, что катушка имеет сердеч­ник, который в исходном состоянии размагничен. По мере увеличения тока в катушке магнитная индук­ция в сердечнике быстро возрастает (участок 0-1 кривой намагничивания; рис. 3.9). Это объясняется ориентацией векторов намагниченности ферромагнит­ного сердечника. Затем интенсивность ориентации за­медляется (участок 1-2 кривой намагничивания); точка 2 соответствует магнитному насыщению, т.е. при некотором значении напряженности поля H нас все домены сориентированы и при дальнейшем увеличении тока в катушке индукция поля растет так же, как она росла бы при отсутствии сердечника.

ЦИКЛИЧЕСКОЕ ПЕРЕМАГНИЧЕВАНИЕ

Если через катушку пропускать ток, меняющий свое направление, то сердечник будет перемагничиваться. Рассмотрим этот процесс. При увеличении тока в катушке магнитная индукция возрастает до индукции насыщения (точка а). При уменьшении тока магнитная индукция снижается, но так, что при тех же значениях Н она оказывается больше значений магнитной индукции, соответствую­щих увеличению тока. Это объясняется тем, что часть доменов еще сохраняет свою ориентацию. Таким образом, при H = 0 в сердечнике сохраняется

Рис. 3.10. К описанию процесса циклического перемагничивания

Рис.3.11. Петли гистерезиса для различных материалов

магнит­ное поле, характеризуемое остаточной индукцией В г (точка Ь). При увеличении тока в противополож­ном направлении магнитное поле катушки компенси­рует магнитное поле, созданное доменами сердечника. При напряженности поля Н с (точка с), которая назы­вается коэрцитивной силой, результирующая магнитная индукция окажется равной нулю. Дальней­шее увеличение тока в катушке вызовет перемагничивание сердечника, т. е. поворот векторов намагни­ченности на 180°. При некотором значении Н (точ­ка d) сердечник снова будет насыщаться. При умень­шении тока в катушке до нуля индукция будет умень­шаться до остаточной индукции (точка е). Увеличение тока в положительном направлении вызовет намагни­чивание сердечника до исходного состояния (точка а). Полученную кривую называют петлей гистерезиса (запаздывания). Участок О а характери­стики намагничивания называют основной кри­вой намагничивания.

Процесс перемагничивания связан с затратами энергии и сопровождается выделением теплоты. Энергия, которая затрачивается за один цикл перемагничивания, пропорциональна площади, ограниченной петлей гистерезиса.

В зависимости от вида петли гистерезиса ферромагнитные материалы подразделяют на магнитомягкие и магнитотвердые.

Магнитомягкие материалы обладают круто поднимающейся основной кривой намагничивания и относительно малыми площадями гистерезисных петель. Для магнитотвердых материалов характерны пологость основной кривой намагничивания и большая площадь гистерезисной петли.

РАСЧЕТ МАГНИТНОЙ ЦЕПИ

Совокупность устройств, содержащих ферромагнит­ные тела и образующих замкнутую цепь, в которой при наличии магнитодвижущей силы образуется магнитный поток, и вдоль которой замыкаются линии маг­нитной индукции, называют магнитной цепью.

Рис. 3.12. Схема магнитной цепи
Примером таких цепей являются сердечники транс­форматоров, магнитных усилителей, электрических машин и т. д. (рис. 3.12). Задача расчета., магнитной цепи сводится к определению НС катушки или системы катушек, необходимой для создания заданного магнит­ного потока. Часто встречается и обратная задача, когда по заданной намагничивающей силе необходи­мо определить магнитные потоки. Расчет магнитной цепи производят с помощью законов для магнитных цепей. Рассмотрим эти за­коны.

Первый закон Кирхгофа. За счет тока, протекающего через катушку, показанную на рис. 3.12, возникает магнитное поле и в левом стержне создается магнитный поток Ф. Этот поток в точке А сердечника разветвляется на потоки Ф 1 и Ф 2 . Так как силовые линии магнитного поля непрерывны и замкнуты, должно выполняться соотношение

Ф=Ф 1 +Ф 2 или Ф - Ф 1 - Ф 2 = 0. (3.9)

Следовательно, алгебраическая сумма магнитных потоков для любого узла магнитной цепи равна нулю.

Это уравнение выражает первый закон Кирхгофа для магнитной цепи.

Второй закон Кирхгофа. Применим закон полного тока к контуру ABCD (рис. 3.12). Полный ток, прохо­дящий через поверхность, ограниченную этим конту­ром,

∑I =Iw. НС вдоль этого контура F = H(L 1 + L 2) +H 1 L 1 , где Н - напряженность магнитного поля на участке BCDA, в пределах которого оно однородно, так как магнитный поток Ф и площадь поперечного сечения сердечника S на этом участке неизменны; H 1 - напряженность магнитного поля на участке АВ.

На основании закона полного тока Iw =H(L 1 + L 2) +H 1 L 1

Т. е. для данного контура НС катушки равна сумме магнитных напряжений на отдельных участках. Если имеется не одна, а несколько катушек и во всех стерж­нях напряженность поля различна, то уравнение при­обретает вид

I 1 w 1 + I 2 w 2 + I 3 w 3 +…=H 1 L1 + H 2 L 2 +H 3 L 3 +…

Таким образом, алгебраическая сумма НС для любого замкнутого контура магнитной цепи равна алгебраической сумме магнитных напряжений на отдельных его участках.

Это определение является вторым законом Кирхго­фа для магнитной цепи. Знак НС катушки опреде­ляют по правилу буравчика, а знак магнитного напря­жения - по направлению напряженности поля; если направление напряженности совпадает с выбранным направлением обхода контура, то магнитное напряже­ние берут со знаком плюс, и наоборот.

Закон Ома. Магнитное напряжение на данном участке цепи U м =H L L. Выражение закона Ома для участка магнитной цепи примет вид

Ф = U м /R м,

R м - магнитное сопротивление участка цепи.

Магнитный поток для участка цепи прямо пропор­ционален магнитному напряжению на этом участке.

Из выражения для R м следует, что магнитное со­противление ферромагнитных материалов мало. Не­обходимо отметить, что закон Ома справедлив только для линейных участков магнитной цепи.

ЭЛЕКТРОН В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

На электрон, движущийся в магнитном поле (рис. 3.15), действует электромагнитная сила. Эта сила возникает в результате взаимодействия данного магнитного поля с магнитным полем, которое обра­зуется в результате движения электрона. Она назы­вается силой Лоренца и определяется соотношением

F o =q 0 Bvsin α, (3.11)

Где q 0 - заряд электрона; В - магнитная индукция; v - скорость движения электронов; α - угол между направлениями магнитного поля и электронного тока. Направление силы определяется по правилу левой руки: левую руку следует расположить так, чтобы магнитное поле входило в ладонь, вытянутые четыре

пальца располагаются по направлению тока; тогда отогнутый под прямым углом большой палец покажет на­правление силы.

Необходимо помнить, что ток, вызванный движением электрона, направлен в сто­рону, противоположную это­му движению.

Рис. 3.15. Электрон в магнитном поле

ПРОВОДНИК С ТОКОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРОВОДНИКОВ С ТОКОМ

г


Рис. 3.16. Проводник с током в магнитном поле
На проводник с током, находящийся в магнитном поле (рис. 3.16), действует сила. Так как ток в метал­лическом проводнике обусловлен движением электро­нов, то силу, действующую на проводник, можно рас­сматривать как сумму сил, действующих на все элект­роны проводника длиной L. В результате получаем соотношение F = F o nLS, где F o - сила Лоренца, дей­ствующая на электрон; п - концентрации электронов (число электронов в единице объема); L, S - длина и площадь поперечного сечения проводника.

Рис. 3.17. Электромагнитные силы взаимодействия парал­лельных проводников с током

С учетом формулы (3.11) можно записать F =q 0 nvSBLsin α

Легко понять, что произведение q o nv является плотностью тока J; следовательно, F=JSBlsinα.

Произведение JS есть ток I, т. е. F=IBLsinα

Полученная зависимость отражает закон Ампера.

Направление силы определяется по правилу левой руки. Рассмотренное явление положено в основу рабо­ты электрических двигателей.

На практике часто приходится встречаться с вза­имодействием параллельных проводников, по которым проходят токи.

Рассмотрим это явление. Проводник с током I 2 на­ходится в магнитном поле тока I 1 (рис. 3.17). Применим формулы (3.12) для определения электромаг­нитной силы, действующей на проводник с током I 2: F 1,2 = I 2 B 1 L. В данном случае α = π/2. Магнитная ин­дукция, как известно, В 1 =μ а Н 1 .

Напряженность магнитного поля прямолинейного проводника с током, по формуле (3.7), Н 1 =I 1 / (2πα). Тогда выражение для F 1,2 примет вид F 1,2 = μ а I 1 I 2 L/ (2 πα).

Согласно третьему закону Ньютона, проводник с током I 2 действует на проводник с током I 1 с такой же силой, как проводник с током I 1 на проводник с током I 2 , т. е.

F = μ а I 1 I 2 L/ (2 πα).

Направление действия сил F 12 и F 21 , определяется по правилу левой руки. Как видно из рис. 3.17, если токи проходят в одном направлении, то проводники притягиваются, если в разном - отталкиваются.

ЗАКОН ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ

Суть закона электромагнитной индукции, открытого английским физиком М. Фарадеем, заключается в сле­дующем: всякое изменение магнитного поля, в котором помещен проводник произвольной формы, вызывает в последнем появление ЭДС электромагнитной индук­ ции.

Рассмотрим этот закон с количественной стороны при движении прямолинейного проводника в однород­ном магнитном поле (рис. 3.19).

Рис. 3.19. Схема индуци­рования ЭДС в проводни­ке, движущемся в одно­родном магнитном поле
Пусть проводник длиной L движется со скоростью v. Тогда на свободные электроны, движущиеся вместе с проводником, будет действовать сила Лоренца, на­правление которой определяется по правилу левой руки. Под действием этой силы электроны движутся вдоль проводника, что приводит к разделению зарядов: на конце А проводника накапливаются поло­жительные заряды, на конце Б - отрицательные. Но при разделении зарядов возни­кает электрическое поле, препятствующее этому процессу. Когда силы поля уравновесят силу Лоренца, разделение прекратится. В процессе раз­деления зарядов силы Лорен­ца производят работу. Опре­делим значение этой работы по отношению к единичному заряду, т. е. напряжение между точками А и Б. Это напряжение равно ЭДС электромагнитной ин­дукции и в общем случае, выражается формулой E = Bvlsinα. (3.14)

Направление ЭДС определяется по правилу правой руки: правую руку располагают так, чтобы магнитные линии входили в ладонь, отогнутый под прямым углом большой палец совмещают с направлением скорости; тогда вытянутые четыре пальца покажут направле­ние ЭДС.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКУЮ

Пусть в магнитном поле проводник длиной L скользит под действием груза по направляющим (рис. 3.24). Тогда в соответствии с законом электромагнитной индукции в этом проводнике наводится ЭДС индукции E = ВLv. Под действием этой ЭДС в цепи начнет прохо­дить токI. Согласно закону Ома для всей цепи,

E=IR+IR BT , где R - сопротивление нагрузки; R BT - сопротивление проводников.

Очевидно, что в резисторах R и R BT расходуется энергия и происходит про­цесс преобразования ме­ханической энергии в электрическую. При этом на проводник длиной L действует электромагнит­ная сила F = BIL, направ­ление которой определяется по правилу левой руки. При установившейся скорости сила G = F.
Найдем соотношения меж­ду механической и элект­рической мощностями для этого состояния. Умножим уравнение для Е на ток I:

Pис. 3.24. Модель, иллюстрирующая преобразование механической энергии в электрическую

EI=I 2 R+I 2 R BT

То Fv= I 2 R+I 2 R BT (3-17)

Где Fv - механическая мощность, развиваемая при движении груза; I 2 R - электрическая мощность, по­требляемая в нагрузке; I 2 R BT - мощность потерь в проводнике.

Таким образом, механическая энергия при пере­мещении проводника в магнитном поле преобразуется в электрическую. Рассмотренная модель является моделью простейшего генератора электрической энер­гии.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ В МЕХАНИЧЕСКУЮ

К проводнику длиной L, помещенному в магнитное поле, приложено напряжение источника U, и в цепи существует ток I (рис. 3.25). На проводник действует электромагнитная сила F = BLI, направление которой определяется по правилу левой руки.

Рис. 3.25. Модель, иллюстри­рующая преобразование электрической энергии в механическую
П од действием этой силы, если F> G,
проводник длиной L на­чнет перемещаться и груз станет подниматься. Сле­довательно, электрическая энергия источника будет преобразовываться в ме­ханическую энергию груза. Найдем количественное соотношение, характеризующее это преобразование. При движении проводника в магнитном
поле в нем будет индуцироваться ЭДС E = BLv.
Согласно принципу Ленца, направление этой ЭДС противоположно направлению тока и, следовательно,

U = E + IR BT , (3.18)

Где R BT - сопротивление проводника длиной L. Отсюда ток в цепи I = (U-E)/R BT . (3.19)

Умножив уравнение (3.18) на ток I и имея в виду, что E = BLv, получим

UI = EI + l 2 R BT BLvI + I 2 R BT Fv + I 2 R BT

P э = P мх + P т (3.20)

Где Р э = UI - электрическая мощность; P мх =Fv - механическая мощность; P t = I 2 R bt - тепловая мощ­ность.

Таким образом, полученная проводником электри­ческая энергия источника преобразуется в механи­ческую и тепловую энергию.

Эта модель является простейшим электрическим двигателем.

ПОТОКОСЦЕПЛЕНИЕ И ИНДУКТИВНОСТЬ КАТУШКИ

Если через катушку проходит изменяющийся ток, то ее витки пересекаются переменным магнитным по­лем, вызываемым этим током, и на зажимах катушки возникает ЭДС индукции. Для количественной ха­рактеристики этого процесса введем понятия потокосцепления и индуктивности катушки. На рис. 3.26 по­казана катушка с током, витки которой пронизывают различное число силовых линий: центральные витки - все силовые линии, крайние - только часть силовых линий. Следовательно, магнитные потоки различных витков различны. Эти магнитные потоки называют потоками самоиндукции Ф, так как они создаются током катушки. Сумму потоков самоиндук­ции всех витков катушки называют потокосцеплением самоиндукции. В том случае, когда магнитная проницаемость среды постоянна, между потокосцеплением ψ и создающим его током существует линейная зависимость

Где L - коэффициент пропорциональности, называе­мый индуктивностью катушки.

Единицей индуктивности является генри (Гн). [Ц=\ Вб/1 А=1 Гн.

На практике, как правило, пользуются более мел­кими единицами: миллигенри (1 мГн=10~ 3 Гн) и микрогенри (1 мкГн=10~ 6 Гн).

ЭДС САМОИНДУКЦИИ. ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

Рассмотрим процесс, происходящий в цепи (рис. 3.27) при замыкании ключа К. До замыкания ключа ток в цепи I = 0. После замыкания ключа ток в цепи устанавливается не мгновенно и лишь через опреде­ленное время достигает значения I=U/R K . Следова­тельно, ток, проходящий через катушку, изменяется, а значит, изменяется поток Ф L каждого витка и потокосцепление катушки ψ L

В каждом витке и во всей катушке наводится ЭДС. ЭДС e L называют ЭДС самоиндукции, а рас­смотренное явление возникновения ЭДС в катушке вследствие изменения тока в этой катушке - само­индукцией.

ЭДС самоиндукции, согласно принципу Ленца, препятствует изменению тока в катушке, поэтому ток достигает установившегося значения I=U/R K посте­пенно (рис. 3.28). Если замкнуть катушку на резистор, то ток в цепи не исчезает мгновенно, так как ЭДС самоиндукции препятствует его уменьшению. Прохож­дение тока через R к сопровождается выделением тепловой энергии, что свидетельствует о накоплении энер­гии в магнитном поле катушки.

ЭДС ВЗАИМОИНДУКЦИИ. ВИХРЕВЫЕ ТОКИ

В том случае, когда переменное магнитное поле, созданное током одной катушки, пересекает витки другой катушки (рис. 3.29), и наоборот, на зажимах последней катушки возникает ЭДС, которую называют ЭДС взаимоиндукции.

Ток, проходящий через катушку w 2 , создает маг­нитное поле, часть которого сцеплена с витками катушки w 2 (рис. 3.29, а), и количественно определяется потокосцеплением взаимоиндукции. Со­ответственно ток катушки w 2 (рис. 3.29, б) созда­ет потокосцепление взаимоиндукции.

Рис. 3.29. Магнитосвязанные цепи

Здесь Ф 12 и Ф 21 - магнитные потоки взаимоиндук­ции, пропорциональные токам, их создающим. Сле­довательно, и потокосцепление взаимоиндукции про­порциональны этим токам.

Взаимная индуктивность М зависит от числа вит­ков катушек, их размеров и взаимного расположения, а также от магнитных свойств среды.

Единица взаимной индуктивности М - генри (Гн).

При изменении потокосцепления взаимоиндукции первой катушки во второй катушке наводится ЭДС взаимоиндукции.

Соответственно изменение потокосцепления взаимо­индукции второй катушки вызывает ЭДС взаимоин­дукции в первой катушке:

Явление взаимоиндукции находит широкое приме­нение в различных электро- и радиотехнических устройствах. В частности, оно используется для транс­формации электроэнергии в целях переменного тока.

Однако это явление может проявлять себя и как вредное. Например, в сердечнике катушки (рис. 3.30) или трансформатора за счет явле­ния взаимоиндукции возникает кольцевой ток, который назы­вают вихревым. Протекание вихревых токов в сердечнике вызывает большие тепловые потери. Для уменьшения этих потерь ферромагнитные сер­дечники набирают из тонких изолированных друг от друга листов электротехни­ческой стали с повышенным удельным электрическим сопротивлением.

Рис.3.30. Образование вихревых токов в магнитопроводе

Индукцию проводника с током можно представить как векторную сумму элементарных индукций создаваемых отдельными участками проводника. На опыте можно измерить только суммарную индукцию магнитного поля, создаваемого всеми элементами тока. Закон Био–Савара определяет вклад в магнитную индукцию результирующего магнитного поля, создаваемый малым участком Δl проводника с током I .

Здесь r – расстояние от данного участка Δl до точки наблюдения, α – угол между направлением на точку наблюдения и направлением тока на данном участке, μ 0 – магнитная постоянная. Направление вектора определяется правилом буравчика: оно совпадает с направлением вращения рукоятки буравчика при его поступательном перемещении вдоль тока. Если просуммировать (проинтегрировать) вклады в магнитное поле всех отдельных участков прямолинейного проводника с током, то получится формула для магнитной индукции поля прямого тока:

Закон Био–Савара позволяет рассчитывать магнитные поля токов различных конфигураций. Например, магнитное поле в центре кругового витка с током. Этот расчет приводит к формуле

где R – радиус кругового проводника.

Для определения направления вектора используют правило буравчика, вращая его рукоятку в направлении кругового тока, а поступательное перемещение буравчика укажет направление вектора магнитной индукции.

магнитное поле тороидальной катушки

где N – полное число витков, а I – ток, текущий по виткам катушки. Следовательно,

Таким образом, модуль вектора магнитной индукции в тороидальной катушке зависит от радиуса r . Если сердечник катушки тонкий, то есть r 2 – r 1 << r , то магнитное поле внутри катушки практически однородно. Величина n = N / 2πr представляет собой число витков на единицу длины катушки. В этом случае B = μ 0 In .

В это выражение не входит радиус тора, поэтому оно справедливо и в предельном случае r → ∞. Но в пределе каждую часть тороидальной катушки можно рассматривать как длинную прямолинейную катушку. Такие катушки называют соленоидами .

На рис. изображено магнитное поле катушки конечной длины. Следует обратить внимание на то, что в центральной части катушки магнитное поле практически однородно и значительно сильнее, чем вне катушки. На это указывает густота линий магнитной индукции. В предельном случае бесконечно длинного соленоида однородное магнитное поле целиком сосредоточено внутри соленоида.

В случае бесконечно длинного соленоида выражение для модуля магнитной индукции можно определить по формуле B = μ 0 In .

Если поле создается несколькими источниками, то вектор магнитной индукции в данной точке определяется по принципу суперпозиции:

т.е. результирующая магнитная индукция – это векторная сумма векторов магнитной индукции, создаваемых каждым источником в отдельности.

Магнитное поле характеризуют не только индукциейВ , но и напряженностьюН магнитного поля. Эти две физические величины связаны между собой: . Тогда закон Био-Савара-Лапласа можно представить в виде: .

Сила Лоренца

Сила Ампера, действующая на отрезок проводника длиной Δl с силой тока I , находящийся в магнитном поле B , F = IB Δl sin α может быть выражена через силы, действующие на отдельные носители заряда.

Пусть концентрация носителей свободного заряда в проводнике есть n , а q – заряд носителя. Тогда произведение nq υS , где υ – модуль скорости упорядоченного движения носителей по проводнику, а S – площадь поперечного сечения проводника, равно току, текущему по проводнику: I = qn υS .

Выражение для силы Ампера можно записать в виде: F = qnS Δl υB sin α.

Так как полное число N носителей свободного заряда в проводнике длиной Δl и сечением S равно nS Δl , то сила, действующая на одну заряженную частицу, равна F Л = q υB sin α.

Эту силу называют силой Лоренца . Угол α в этом выражении равен углу между скоростью и вектором магнитной индукции Направление силы Лоренца, действующей на положительно заряженную частицу, так же, как и направление силы Ампера, может быть найдено по правилу левой руки или по правилу буравчика.

При движении заряженной частицы в магнитном поле сила Лоренца работы не совершает. Поэтому модуль вектора скорости при движении частицы не изменяется.

Если заряженная частица движется в однородном магнитном поле под действием силы Лоренца, а ее скорость лежит в плоскости,

перпендикулярной вектору то частица будет двигаться по окружности радиуса R. Радиус R можно определить из равенства центростремительной силы и силы Лоренца: , откуда .

Сила Лоренца в этом случае играет роль центростремительной силы.

Попадание летящей частицы в магнитное поле вызывает изменение ее траектории в зависимости от знака частицы.

Если частица движется под углом b к линиямВ , то траектория движения частицы будет винтовой линией (спиралью).

Период обращения частицы в однородном магнитном поле равен

Это выражение показывает, что для заряженных частиц заданной массы m период обращения не зависит от скорости υ и радиуса траектории R .

Угловая скорость движения заряженной частицы по круговой траектории

называется циклотронной частотой . Циклотронная частота не зависит от скорости (следовательно, и от кинетической энергии) частицы. Это обстоятельство используется в циклотронах – ускорителях тяжелых частиц (протонов, ионов).

Между полюсами сильного электромагнита помещается вакуумная камера, в которой находятся два электрода в виде полых металлических полуцилиндров (дуантов ). К дуантам приложено переменное электрическое напряжение, частота которого равна циклотронной частоте . Заряженные частицы инжектируются в центре вакуумной камеры. Частицы ускоряются электрическим полем в промежутке между дуантами. Внутри дуантов частицы движутся под действием силы Лоренца по полуокружностям, радиус которых растет по мере увеличения энергии частиц. Циклотроны позволяют ускорять протоны до энергии порядка 20 МэВ.

Кроме сказанного, оказывается, существует прямая связь между постоянным магнитом и проводником с током. Выра­жается она в том, что магнит действует на проводник с током. И наоборот, ток действует на магнит. То есть электрический ток обладает способностью намагничивать железо и притягивать его к себе. Два проводника с электрическим током взаи­модействуют между собой. Таким образом, магнитные действия магнитов тождественны магнитным действиям токов при со­ответствующем подборе силы тока и формы проводников.

Ипоследнее. Земля ориентирует не только магнитную стрел­ку в направлении с севера на юг, но и проводники с электри­ческим током - в направлении с запада на восток. Подведем итог изложенному. В пространстве, окружающем электричес­кие токи и постоянные магниты, возникает силовое поле, назы­ваемое магнитным. Магнитное поле непрерывно в пространстве и способно действовать на проводники с током, движущиеся электрические заряды и постоянные магниты. Электрическое поле действует как на неподвижные, так и на движущиеся элект­рические заряды. Характер воздействия магнитного поля на про­водники с током различен и зависит от формы проводника, его расположения и направле­ния тока в нем. За направле­ние магнитного поля в данной точке принимается направле­ние, вдоль которого распола­гается положительная нор­маль к рамке с током, или направление силы, которая действует на северный полюс магнитной стрелки. В каче­стве положительного направления нормали принимается на­правление, связанное с направлением тока правилом правого винта (рис. 11.1). То есть направление поступательного дви­жения винта, головка которого вращается по направлению тока в контуре, и есть положительное направление нормали к рам­ке с током. Магнитное поле принято изображать графически с помощью силовых линий. Для постоянного магнита в виде подковы они выглядят в виде прямых линий, на­ходящих от северного полюса и входящих в южный (рис 11.5).

Итак:

Все магнитные явления объясняются взаимодействием движущихся электрических зарядов.

Источником магнитного поля могут быть:

постоянные магниты;

макротоки - токи проводимости;

микротоки - токи в атоме при движении, в основном, электронов.

Силовой характеристикой магнитного поля является напряженность Н. Чаще всего используется магнитная индукция В: =



, Тл.

Принцип суперпозиции: результирующий вектор магнитной индукции в данной точке пространства равен векторной сумме векторов магнитной индукции в данной точке пространства магнитных полей, образующих данное магнитное поле.

Сила Ампера прямо пропорциональна силе тока в проводни­ке, его длине, напряженности магнитного поля, ориентации относительно силовых линий магнитного поля (sina

F = H

I sina , H,

где 0 =4



-угол между прямолиней­ным проводником и вектором магнитной индукции.

Сила Лоренца. Полярные сияния.

Движение того же электрона в однородном магнитном поле, (рис. 12.9) представляет собой электрический ток. Поэтому магнитное поле отклонит частицу вверх от первона­чальной траектории. Согласно закону Ампера сила, отклоняющая электрон на любом участке траекто­рии, равна F A = IB sina . Но так как сила тока I = e / t , где t - время, за которое заряд е проходит участок , то F A = eB (/ t ) sina . Учитывая, что / t = v ив общем случае е = q , получаем

F Л = F A = qvBsina , a =

. (12.7)

Силу F Л называют силой Лоренца. Направления векторов

и взаимно перпендикулярны. Направление силы Ло­ренца, действующей на положительный заряд, можно опреде­лить по правилу левой руки, как и направление силы Ампера, с той лишь разницей, что четыре вытя­нутых пальца сле­дует направить вдоль вектора .

При этом нель­зя забывать, что для положительного заряда направления I и совпадают, а для отрицательного - противоположны. Так как сила Лоренца перпендикулярна вектору скорости, то она изменяет только направление скорости движения заряда, не изменяя модуля этой скорости. Это значит, что работа силы Лоренца равна нулю.

Иными словами, постоянное магнитное поле не совершает работы над движущимся с постоянной скоростью зарядом. Вспомним, что электрическое поле изменяет энергию и мо­дуль скорости движущегося заряда.

Из формулы (12.7) очевидно, что направление силы Лорен­ца и направление вызываемого ею отклонения заряда зависят от взаимного направления векторов и . Возможны сдедующие варианты соотношения направлений векторов и . Первый: ||,a = ^=0, sina =0, F Л = 0 - это значит, что магнитное поле на заряд не действует.

Второй: , a = 90°, sina = l, а F Л = qBv = const максимальна и нормальна к траектории движения заряда. Траектория заряда является окружностью, на которой заряд удерживает сила Лоренца, играющая роль центростремительной силы. Радиус r этой окружности можно определить из равенства лоренцевой и центростремительной сил qBv = mv 2 / r , откуда r = mv /(qB ) = mv /(

mqH ). Тйким образом, радиус окружности пропорционалён скорости заряда и обратно пропорционален напряженности магнитного поля. Период вращения заряда равен отношению длины окружности к скорости v заряда Т = 2r / v или, учитывая предыдущую формулу, Т = 2pm /(qB ) =2 pm (

mqH ). Следовательно, период вращения заряда в магнитном поле не зависит от ее скорости.

Третий: если электрический заряд входит в магнитное поле со скоростью v, направленной под углом а к вектору (рис. 12.10), то дви­жение его в магнитном поле будет происходить по спирали, ось которой параллельна магнитному полю. Направление, в котором закручивается спираль, зависит от знака заряда.

Контур с током в магнитное поле. Индукция магнитного поля. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле. Закон Био - Савара - Лапласа.

Практическое значение имеет вращение прямоугольной рамки с током в однородном магнитном поле. Вращение рамки происходит под действием момента пары сил, возникающих за счет непосредственного взаимодействия магнита и проводника с током. Момент вращения для случая контура с током в поле постоянного магнита меняется от нуля до некоторого максимального значения. Конкретное значение его определяется положением рамки относительно полюсов постоянного магнита и его силовых линий. Рассмотрим два крайних варианта компоновки; системы «рамка - магнит» с заданным направлением силы: тока в рамке. Вначале плоскость рамки расположена вдоль поля (рис. 11.2). Направление действующей силы на проводник АВ с током в магнитном поле можно определить по правилу левой руки. Руку располагают так, чтобы силовые линии постоянного магнита, исходящие из северного полюса к юж­ному, входили в ладонь, а четыре пальца были расположены вдоль тока. Оттопыренный на 90° большой палец указывает, направление действующей на проводник силы.

Применяя правило левой руки, найдем, что на проводник АВ рамки действует сила F 1 направленная от наблюдателя, к проводнику CD приложена сила F 2 , направленная к наблюда­телю. На участки АС и BD рамки, расположенные вдоль сило­вых линий поля, силы не действуют. Силы F 1 и F 2 равны, параллельны и противоположны друг другу, так как АВ и CD равны и параллельны. К рамке с током, таким образом, приложена пара сил, под действием которых она повернется по часовой стрелке. Момент пары сил будет максимальным, М m ах. Рассмотрим положение рамки, когда ее плоскость перпен­дикулярна полю постоянного магнита (рис. 11.3). В таком по­ложении рамки момент вращения, действующий на нее, равен нулю, М = 0. Силы, действующие на рамку в этом случае, только деформируют ее, но не поворачивают. Состояние рам­ки является равновесным. Однако при рассмотрении ряда пос­ледовательных положений рамки с током в магнитном поле легко догадаться, что положение рамки, представленное на рис. 11.3, всего лишь промежуточное состояние, вращающий мо­мент сил в котором равен нулю.

Движение проводника с током и, в том числе вращательное движение контура с током в магнитном поле, имеет широкое применение в электродвигателях, измерительных приборах с вращающейся катушкой и ряде других электротехнических устройств.

Важной характеристикой рамки с током является ее магнит­ный момент р m = Is, А м 2 (рис. 11.4). Это векторная величина. И совпадает она с направлением поло­жительной нормали к плоскости рамки, то есть направление вектора магнитно­го момента рамки с током определяется по правилу буравчика (правого винта). Вращающий момент сил зависит от свойств рамки с током и свойств маг­нитного поля в данной точке, то есть прямо пропорционален вектору магнит­ного момента рамки с током:

=

,М = BIs, Н·м.

Свойства магнитного поля сконцентрированы в коэффициенте пропорциональности В. Чтобы разобраться в его физическом содержании, проделаем следующие рассуждения. Если в фиксированную точку магнитного поля последовательно размещать параллельно полю рамки с различными значе­ниями магнитного момента р m , то естественно, что на них действуют различные вращающие моменты М, в данном слу­чае максимальные. Однако, как показывает опыт, отношение M max /р m = const для всех контуров и поэтому может служить характеристикой магнитного поля в данной точке, называемой магнитной индукцией:

В = М max /р m ,Н м/(А м 2)=Н/(А м)=Тл - тесла.

При р m = 1 А м 2 B=M max то есть магнитная индукция в данной точке однородного магнитного поля определяется максимальным вращающим моментом, действующим на рамку с магнитным моментом, равным единице, когда нормаль к рамке перпендикулярна направлению поля. Следовательно, магнитная индукция характеризует способность магнитного поля оказывать силовое действие на прямолинейный или замкнутый проводник с током или движущийся электрический заряд.

Магнитное поле является силовым, и по аналогии с электрическим его изображают с помощью линий магнитной индукции - линий, касательные к которым совпадают с нaправлением вектора .Haправление силовых линий магнитного поля задается правилом правого винта. Если ввинчивать винт так, чтобы он перемещался по направлению тока, то направление вращения его г

оловки указывает направление силовых линий. Для кольцевых проводников винт вкручивается так, чтобы он продвигался по направлению поля, то есть вдоль силовой линии, и тогда направление вращения его «шляпки» укажет направление тока в витке. Линии магнитной индукции всегда замкнуты и охватывают проводники с током в отличие от силовых линий электрического поля (рис. 11.5). По­этому магнитное поле называют вихревым.

Итак, на проводник с током в магнитном, поле действует сила. Из изложенного только что известно, от чего зависит направление этой силы. А вот величина ее, как показали опы­ты А. Ампера, прямо пропорциональна силе тока в проводни­ке, его длине, напряженности магнитного поля, ориентации относительно силовых линий магнитного поля (sina ) и зави­сит от свойств среды (

), в которой находится проводник

F = H

I sina , H,

где 0 =4

Гн/м, Гн = Дж/А 2 - магнитная постоянная; --магнитная проницаемость среды. Эта безразмерная харак­теристика магнитных свойств вещества показывает, во сколь­ко раз магнитное поле макротоков усиливается за счет микро­токов в веществе. Подробно физическое содержаниеи будетрассмотрено несколько позже;

-угол между прямолиней­ным проводником и вектором магнитной индукции. Величину Н называют напряженностью магнитного поля: Н = F /(

I sina ),А/м. Это важная характеристика магнитного поля. Она явля­ется векторной величиной. Вектор напряженности магнитно­го поля в фиксированной точке направлен, как и вектор маг­нитной индукции, по касательной к силовой линии, проходя­щей через эту точку. Величина напряженности магнитного поля служит его силовой характеристикой подобно тому, как век­тор электрической напряженности служит силовой характе­ристикой электрического поля. И еще один момент, вектор напряженности

характеризует магнитное поле, создаваемое макротоками.

Вектор магнитной индукции характеризует результиру­ющее магнитное поле, создаваемое микро- и макротоками или постоянным магнитом и микротоками. Для однородной изотропной среды связь между векторами магнитной индукции и напряженности следующая:

=



, Тл. (11.1)

Из последних двух уравнений очевидно, что при всех рав­ных условиях векторы и

в различных средах будут иметь разное значение.

Для магнитного поля, как и для электрического, справед­лив принцип суперпозиции: магнитная индукция результиру­ющего поля, создаваемого несколькими токами или движу­щимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности:

Магнитное поле постоянных токов было изучено французскими учеными ЭК. Био и Ф. Саваром. Результаты их опытов обобщил знаменитый французский математик и физик П. Лап­лас. Закон Био-Савара-Лапласа для проводника с током I , элемент

ко­торого создает в некоторой точке А, (рис. 12.1) пространства индукцию поля dB , записывается в виде

dB =

(12.1)

или

Величина dH зависит от элемента тока I

, создающего магнитное поле, и от положения рассмат­риваемой точки А в среде с магнитной проницаемостью .

Магнитное поле, напряженность которого везде одинакова, называют однородным. В противоположном случае - поле нео­днородно.

Электромагнитное поле. Явление электромагнитной индукции. Закон Фарадея для электромагнитной индукции. Правило Ленца.

Способность магнитного поля воздействовать на проводник с током привела к мысли о том, а нельзя ли с помощью маг­нитного поля возбудить ток в замкнутом контуре? И эта зада­ча была успешно решена М. Фарадеем в 1831 г. с помощью следующих опытов. В первом из них при введении постоянно­го магнита в соленоид, замкнутый на гальванометр, наблюда­ется отклонение стрелки гальванометра. Противоположное от­клонение стрелки происходит при удалении магнита из ка­тушки. При этом величина отклонения стрелки гальваномет­ра пропорциональна скорости движения магнита относительно катушки, то есть скорости изменения магнитного поля. Воз­никающий ток называют индукционным. Индукционный ток возбуждается и в том случае, когда перемещается соленоид относительно магнита. Этот же опыт можно повторить при замене постоянного магнита катушкой меньшего диаметра, которая питается от источника тока. Открытую М. Фарадеем возможность получения электрического тока с помощью маг­нитного поля называют электромагнитной индукцией. Физи­ческая сущность явления состоит в том, что в замкнутом про­водящем контуре при изменении потока магнитной индукции, пронизывающего контур, возникает электрический ток, назы­ваемый, как уже отмечалось, индукционным. Способ измене­ния потока магнитной индукции при этом не влияет на вели­чину индукционного тока. Так, появления индукционного тока в замкнутом проводящем контуре можно добиться, при пово­роте его в однородном магнитном поле. И этот способ получе­ния индукционного тока реализован в генераторах электри­ческого тока, в которых вращается не один, а ряд витков, со­единенных последовательно. Именно таким образом осуще­ствляется производство электрической энергии. Но при этом необходимо иметь источник механической работы. На тепло­вых и атомных электрических станциях таковыми являются паровые турбины, на гидростанциях - гидравлические. Ори­гинальный способ преобразования механической энергии в электрическую опробован впервые на «Шаттле». Он, к сожа­лению, окончился обрывом проволоки. Суть способа состояла в том, что сверхпрочная проволока длиной 22 км на спутнике, пересекая магнитное поле Земли, должна была дать, как обыч­ная динамо-машина, 5 кВт электроэнергии при токе силой 5 А.

Процесс преобразования механической энергии в электрическую обратим. Если через рамку, размещенную в магнитном июле, пропускать электрический ток, тo на нее будет действовать вращающий момент, и рамка начнет вращаться (см. п. 11.2). На этом принципе построена работа электродвигателей.

Появление индукционного тока указывает на наличие в контуре электродвижущей силы электромагнитной индукции. Значение ЭДС электромагнитной индукции определяется только скоростью изменения магнитного потока

Н

астоящее соотношение называется законом Фарадея. Знак «минус» указывает на то, что увеличение потока (dФ В /dt)>0 вызывает e i < 0, то есть поле индукционного тока направлено навстречу потоку; уменьшение потока (dФ В /dt)<0 вызывает е i > 0, то есть магнитное поле индукционного тока и направление первичного магнитного потока совпадают. Таким образом, ЭДС электромагнитной индукции e i в контуре численно равна, и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную этим контуром. Фи­зическая же природа ЭДС электромагнитной индукции обус­ловлена действием силы Лоренца, возникающей при движении проводника или контура, а следовательно, и свободных электрических зарядов, находящихся в них в постоянном маг­нитном поле. С позиции электронной теории проводимости по­явление ЭДС индукции происходит следующим образом. Пусть часть контура в виде проводника (рис. 12.14) движется слева направо со скоростью v в однородном магнитном поле, сило­вые линии которого направлены сверху вниз. Вместе с проводником движутся его свободные электроны. Направленное же движение заряженных частиц есть электрический ток. Но на движущиеся заряженные частицы действует магнитное поле в виде сил Лоренца в направлении, определяемом правилом ле­вой руки. Движение отрицательных зарядов в проводнике под действием силы Лоренца происходит так, как это указано на рис. 12.14. В результате в левой части проводника образуется отрицательный заряд, а в правой - избыточный положитель­ный. Между концами проводника, таким образом, возникает напряжение, которое и является мерой ЭДС индукции.

Знак «минус» в законе Фарадея является математическим выражением правила Ленца (1833 г.), позволяющего опреде­лить направление индукционного тока. Индукционный ток в контуре имеет всегда такое направление, при котором создава­емое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызвавшего индукционный ток.

Электромагнитная теория света. Интерференция света.

По волновой теории свет представляет собой электромагнитные волны, длинна которых лежит в пределах от 380 нм до 770 нм. Более короткие и более длинные не вызывают в зрительном органе человека световое ощущение, и воспроизводятся только специальной аппаратурой.

По корпускулярной (фотонной) теории световое излучение представляет собой поток особых частиц – фотонов, каждый из которых обладает энергией, массой и импульсом. При помощи электромагнитной теории объясняется отражение, преломление, интерференция, дифракция и другое. При помощи фотонной объясняется взаимодействия между светом и веществом.

Ограничение только одной из этих теорий для объяснения всех явлений излучения, распространение и поглощения света пока не удается. Таким образом в световых явлениях наблюдается дуализм.

Электромагнитная волна в соответствии с теорией Максвелла, распространяется в электромагнитном динамике – это есть распространение взаимосвязанных электронов и магнитных полей. В каждой точке волны происходит периоды изменения напряжения. и . и перпендикулярно распространению волны. Они колеблются в одинаковой фазе одновременно достигают своих максимальных и нулевых значений. В случае монохроматичности волны векторы и совершают гармонические колебания одинаковой цикличности, частоты, описывваемыми уравнениями . Из уравнений Максвелла для электромагнитного поля, определяющего связь между и может быть получена формула, связывающая скорость света и электромагнитные волны в веществе с электронными и магнитными свойствами..

Отношение скорости световой волны в вакууме к скорости в некоторой среде называют абсолютным показателем преломления этой среды. Тогда (1).

Равенство (1) и определяет находящуюся связь между показателями преломления и магнитные преломления среды. - формула Максвелла.

Магнитное поле постоянных токов различной конфигурации изучалось экспериментально французскими учеными Жан Батист Био и Феликсом Саваром (1820 г.). Они пришли к выводу, что индукция магнитного поля токов, текущих по проводнику, определяется совместным действием всех отдельных участков проводника. Магнитное поле подчиняется принципу суперпозиции :

Если магнитное поле создается несколькими проводниками с током, то индукция результирующего поля есть векторная сумма индукций полей, создаваемых каждым проводником в отдельности.

Индукцию проводника с током можно представить как векторную сумму элементарных индукций создаваемых отдельными участками проводника. На опыте невозможно выделить отдельный участок проводника с током, так как постоянные токи всегда замкнуты. Можно измерить только суммарную индукцию магнитного поля, создаваемого всеми элементами тока. Закон Био-Савара определяет вклад в магнитную индукцию результирующего магнитного поля, создаваемый малым участком Δl проводника с током I .

Здесь r - расстояние от данного участка Δl до точки наблюдения, α - угол между направлением на точку наблюдения и направлением тока на данном участке, μ 0 - магнитная постоянная. Направление вектора определяется правилом буравчика: оно совпадает с направлением вращения рукоятки буравчика при его поступательном перемещении вдоль тока. Рис. 1.17.1 иллюстрирует закон Био-Савара на примере магнитного поля прямолинейного проводника с током. Если просуммировать (проинтегрировать) вклады в магнитное поле всех отдельных участков прямолинейного проводника с током, то получится формула для магнитной индукции поля прямого тока:

которая уже приводилась в 1.16.

Закон Био-Савара позволяет рассчитывать магнитные поля токов различных конфигураций. Нетрудно, например, выполнить расчет магнитного поля в центре кругового витка с током. Этот расчет приводит к формуле

где R - радиус кругового проводника. Для определения направления вектора также можно использовать правило буравчика, только теперь его рукоятку нужно вращать в направлении кругового тока, а поступательное перемещение буравчика укажет направление вектора магнитной индукции.

Расчеты магнитного поля часто упрощаются при учете симметрии в конфигурации токов, создающих поле. В этом случае можно пользоваться теоремой о циркуляции вектора магнитной индукции , которая в теории магнитного поля токов играет ту же роль, что и теорема Гаусса в электростатике.

Поясним понятие циркуляции вектора Пусть в пространстве, где создано магнитное поле, выбран некоторый условный замкнутый контур (не обязательно плоский) и указано положительное направление его обхода. На каждом отдельном малом участке Δl этого контура можно определить касательную составляющую вектора в данном месте, то есть определить проекцию вектора на направление касательной к данному участку контура (рис. 1.17.2).

Циркуляцией вектора называют сумму произведений Δl , взятую по всему контуру L :

Некоторые токи, создающие магнитное поле, могут пронизывать выбранный контур L в то время, как другие токи могут находиться в стороне от контура.

Теорема о циркуляции утверждает, что циркуляция вектора магнитного поля постоянных токов по любому контуру L всегда равна произведению магнитной постоянной μ 0 на сумму всех токов, пронизывающих контур:

В качестве примера на рис. 1.17.2 изображены несколько проводников с токами, создающими магнитное поле. Токи I 2 и I 3 пронизывают контур L в противоположных направлениях, им должны быть приписаны разные знаки - положительными считаются токи, которые связаны с выбранным направлением обхода контура правилом правого винта (буравчика). Следовательно, I 3 > 0, а I 2 < 0. Ток I 1 не пронизывает контур L .

Теорема о циркуляции в данном примере выражается соотношением:

Теорема о циркуляции в общем виде следует из закона Био-Савара и принципа суперпозиции.

Простейшим примером применения теоремы о циркуляции является вывод формулы для магнитной индукции поля прямолинейного проводника с током. Учитывая симметрию в данной задаче, контур L целесообразно выбрать в виде окружности некоторого радиуса R , лежащей в перпендикулярной проводнику плоскости. Центр окружности находится в некоторой точке проводника. В силу симметрии вектор направлен по касательной , а его модуль одинаков во всех точках окружности. Применение теоремы о циркуляции приводит к соотношению:

откуда следует формула для модуля магнитной индукции поля прямолинейного проводника с током, приведенная ранее.

Этот пример показывает, что теорема о циркуляции вектора магнитной индукции может быть использована для расчета магнитных полей, создаваемых симметричным распределением токов, когда из соображений симметрии можно «угадать» общую структуру поля.

Имеется немало практически важных примеров расчета магнитных полей с помощью теоремы о циркуляции. Одним из таких примеров является задача вычисления поля тороидальной катушки (рис. 1.17.3).

Предполагается, что катушка плотно, то есть виток к витку, намотана на немагнитный тороидальный сердечник. В такой катушке линии магнитной индукции замыкаются внутри катушки и представляют собой концентрические окружности. Они направлены так, что глядя вдоль них, мы увидели бы ток в витках, циркулирующим по часовой стрелке. Одна из линий индукции некоторого радиуса r 1 ≤ r < r 2 изображена на рис. 1.17.3. Применим теорему о циркуляции к контуру L в виде окружности, совпадающей с изображенной на рис. 1.17.3 линией индукции магнитного поля. Из соображений симметрии ясно, что модуль вектора одинаков вдоль всей этой линии. По теореме о циркуляции можно записать:

В это выражение не входит радиус тора, поэтому оно справедливо и в предельном случае r → ∞. Но в пределе каждую часть тороидальной катушки можно рассматривать как длинную прямолинейную катушку. Такие катушки называют соленоидами . Вдали от торцов соленоида модуль магнитной индукции выражается тем же соотношением, что и в случае тороидальной катушки.

На рис. 1.17.4 изображено магнитное поле катушки конечной длины. Следует обратить внимание на то, что в центральной части катушки магнитное поле практически однородно и значительно сильнее, чем вне катушки. На это указывает густота линий магнитной индукции. В предельном случае бесконечно длинного соленоида однородное магнитное поле целиком сосредоточено внутри него.

В случае бесконечно длинного соленоида выражение для модуля магнитной индукции можно получить непосредственно с помощью теоремы о циркуляции, применив ее к прямоугольному контуру, показанному на рис. 1.17.5.

Вектор магнитной индукции имеет отличную от нуля проекцию на направление обхода контура abcd только на стороне ab . Следовательно, циркуляция вектора по контуру равна Bl , где l - длина стороны ab . Число витков соленоида, пронизывающих контур abcd , равно n · l , где n - число витков на единицу длины соленоида, а полный ток, пронизывающий контур, равен I n l . Согласно теореме о циркуляции,

B l = μ 0 I n l ,

B = μ 0 I n .

Это выражение совпадает с полученной ранее формулой для магнитного поля тонкой тороидальной катушки.

1. По двум бесконечно длинным прямолинейным проводникам, находящимся на расстоянии 50 см друг от друга, в одном направлении текут токи I 1 и I 2 силой по 5 А. Между проводниками на рас­стоянии 30 см от первого расположен кольцевой проводник, сила тока I з в котором равна 5 А (рис. 7). Радиус кольца 20 см. Опреде­лить индукцию и напряженность магнитного поля, создаваемого то­ками в центре кольцевого проводника.

Дано: I 1 = I 2 = I 3 = I = 5 А; r 1 = 0,3 м; r 2 = 0,2 м; r 3 = 0,2 м.

Найти: В , Н.

Решение. В соответствии с прин­ципом суперпозиции индукция резуль­тирующего магнитного поля в точке А равна: , (1)

где и - индукции полей, создавае­мых соответственно токами I 1 и I 2 , на­правленными за плоскость рисунка; - индукция поля, создаваемая коль­цевым током. Как видно из рис. 7, век­торы и в точке А направлены по Рис.7

одной пря­мой в противоположные стороны, поэтому их сумма равна по модулю . (2)

Индукция поля, создаваемого бесконечно длинным проводником с током,

, (3)

где μ 0 - магнитная постоянная; μ - магнитная проница­емость среды (для воздуха μ = 1); r 1 , r 2 - расстояния от проводников до точки А. Подставляя (3) в (2), получаем: . (4)

Индукция поля, создаваемого кольцевым проводником с током,

где r 3 - радиус кольца.

Как видно из рис. 7, векторы и взаимно перпенди­кулярны, поэтому или, с учетом выражений (4) и (5),

;

Напряженность магнитного поля

.

2. По двум бесконечно длинным прямолинейным проводникам, находящимся на расстоянии 10 см друг от друга, текут токи силой 5 А в каждом. Определить индукцию магнитного поля, создаваемого токами в точке, лежащей посередине между проводниками, в случа­ях, когда: 1) проводники параллельны и токи текут в одном направ­лении (рис. 8, а); проводники перпендикулярны, направления то­ков показаны на рис. 8, б.

Дано: d = 0,1 м; I 1 = I 2 = I = 5 А.

Найти: B || , B ^ .

Решение. Результирующая индукция магнитного поля в данной точке равна векторной сумме индукций полей, созда­ваемых каждым током в отдельности: , (1)

где и - индукции полей, создаваемых соответственно токами I 1 и I 2 . Если токи текут по параллельным проводникам в одном направлении, то, применив правило правого винта, определяем направления и . Как видно из рис. 8 а , и направлены в противоположные стороны, поэтому вектор­ная сумма (1) в данном случае может быть заменена алгебраи­ческой:

. (2)

Индукции полей, создаваемых бесконечно длинными про­водниками, находим по формуле , (3)

где r 1 и r 2 - соответственно расстояния от проводников до точ­ки, в которой определяется индукция магнитного поля.

Со­гласно условию задачи, r 1 = r 2 = r = . Тогда: .

В случае, когда проводники перпендикулярны (рис. 8 б ), результирующая индукция в точке, лежащей посередине меж­ду проводниками, равна:

Подставляя числовые значения, получаем:

3. По квадратной рамке со стороной 0,2 м течет ток 4 А. Опреде­лить напряженность и индукцию магнитного поля в центре рамки.

Дано: I = 4 А; а = 0,2 м.

Найти: H , B .

Решение. Магнитное поле в центре рамки (рис. 9) создает­ся каждой из его сторон и направлено в одну сторону нормаль­но к плоскости рамки. Следовательно, , где H 1 - напряженность поля, создаваемого отрезком про­водника с током I длиной а, которая определяется по фор­муле:

,

где - расстояние от проводника до точки поля. По условию данной задачи, α 1 = 45°; α 2 = 135°. Тогда ;

.

Рис. 9 Индукция поля В и напряженность H связаны соотношением : .

4. Виток радиусом 5 см помещён в однородное магнитное поле напряжённостью 5000 А/м так, что нормаль к витку составляет угол 60° с направлением поля. Сила тока в витке 1 А. Какую работу совер­шат силы поля при повороте витка в устойчивое положение?

Дано: r = 0,05 м; I = 1 А; Н = 5000 А/м; α = 60°.

Найти: А .

Решение. Работа А при повороте витка с током I в магнит­ном поле равна:

Здесь - изменение магнитного потока сквозь площадь витка - магнитный поток, про­низывающий виток в начальном положении, где α - угол между векторами и .

Устойчивым положением витка в магнитном поле является такое, при котором направление нормали к нему совпадает с вектором индукции, т. е.

cos α = 1. Следовательно,

Таким образом, Учитывая, что , имеем:

Подставляя (2) в (1), получаем:

5. Пройдя ускоряющую разность потенциалов 3,52 кВ, электрон влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям ин­дукции. Индукция поля 0,01 Тл, радиус траектории электрона r = 2 см. Опре­делить удельный заряд электрона.

Дано: U = 3,52 · 10 3 В; В = 0,01 Тл; r = 2 см = 2∙10 -2 м.

Найти: е/т.

Решение. Удельным зарядом частицы называется величи­на, равная отношению заряда к массе, т. е. е/т .

В магнитном поле с индукцией В на заряд, движущийся со скоростью υ перпендикулярно линиям индукции, действует сила Лоренца:

Под действием этой силы заряд перемещается по дуге ок­ружности. Так как при этом сила Лоренца вызывает центро­стремительное ускорение, то, согласно второму закону Ньютона, можно записать:

Кинетическую энергию, равную , электрон приобретает за счет работы А сил электрического поля (А = eU ),поэтому имеем:

Преобразуя последние два соотношения и исключив из них скорость, получим формулу для определения удельного заряда электрона:

Подставив исходные данные, находим:

6. Виток радиусом 2 см, сила тока в котором 10 А, свободно уста­новился в однородном магнитном поле с индукцией 1,5 Тл. Линии индукции перпендикулярны плоскости витка. Определить работу, совершаемую внешними силами при повороте витка на угол 90° во­круг оси, совпадающей с диаметром витка. Считать, что при поворо­те витка сила тока в нём поддерживается неизменной.

Дано: I = 10 А; В = 1,5 Тл; r = 0,02 м; a = 90°.

Найти: А.

Решение. На виток с током, помещенный в магнитное по­ле, действует вращающий момент: (1)

где р т = IS = I pr 2 - магнитный момент витка; В - индукция магнитного поля, a - угол между векторами р т и В.

В начальном положении, согласно условию задачи, виток свободно установился в магнитном поле, следовательно, векто­ры р т и В совпадают по направлению, т. е. a = 0, М = 0.

При действии внешних сил виток выходит из положения равновесия, при этом возникает момент сил, определяемый формулой (1). Момент сил стремится возвратить виток в ис­ходное положение. При повороте витка внешние силы совершают работу против этого момента, который является пере­менным и зависит от угла поворота a:

Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу, совер­шаемую при повороте витка на конечный угол:

Подставляя числовые значения, находим:

А = 10 · 3,14 - 4 10 -4 · 1,5 = 18,84 · 10 -3 (Дж) ≈0,02 (Дж).

7. Проводник, сила тока в котором 1 А, длиной 0,3 м равномерно вращается вокруг оси, проходящей через его конец, в плоскости, перпендикулярной линиям индукции магнитного поля напряжен­ностью 1 кА/м. За 1 мин. вращения совершается работа 0,1 Дж. Определить угловую скорость вращения проводника.

Дано: I = 1 А; l = 0,3 м; Н = 10 3 А/м; t = 60 с; А = 0,1 Дж.

Решение. Работа, совершаемая силами магнитного поля при перемещении проводника с током I , равна:

где - изменение магнитного потока, т. е. магнитный поток, пересекаемый проводником при его вращении.

Площадь, которую пересечёт проводник при вращении с угловой скоростью ω за время t, l - длина провод­ника, В - индукция магнитного поля,