Formula pentru inducția magnetică a unui conductor infinit cu curent. Legea Biot-Savart-Laplace și aplicarea ei la calculul câmpului magnetic al curenților continui și circulari

Lăsați de-a lungul axei oz se află un conductor infinit de lung prin care circulă un curent cu o forţă . Și care este puterea actuală?

,

este sarcina care traversează în timp suprafața S

. Sistemul are simetrie axială. Dacă introducem coordonatele cilindrice r,  , z, atunci simetria cilindrică înseamnă că

si pe langa,

, când este deplasat de-a lungul axei oz, noi vedem acelasi lucru. Aceasta este sursa. Câmpul magnetic trebuie să fie astfel încât aceste condiții să fie îndeplinite

Și

. Asta înseamnă: linii de forță camp magnetic- cercuri situate într-un plan ortogonal pe conductor. Acest lucru vă permite imediat să găsiți câmpul magnetic.

P gura avem acest dirijor.

Aici este planul ortogonal,

aici este raza cercului r,

Voi lua aici un vector tangent, un vector îndreptat de-a lungul  , vectorul tangent la cerc.

Apoi,

,

Unde

.

Ca un contur închis, selectați un cerc cu rază r= const. Scriem atunci, suma lungimilor din jurul întregului cerc (și integrala nu este altceva decât suma) este circumferința., unde  este puterea curentului în conductor. În dreapta este încărcătura care traversează suprafața pe unitatea de timp. De aici morala:

. Aceasta înseamnă că un conductor drept creează un câmp magnetic cu linii de forță sub formă de cercuri care acoperă conductorul și această valoare ÎN scade ca atunci când se îndepărtează de conductor, ei bine, și tinde spre infinit dacă ne apropiem de conductor când circuitul intră în interiorul conductorului.

E acest rezultat este numai pentru cazul în care circuitul acoperă curentul. Este clar că un conductor infinit este irealizabil. Lungimea unui conductor este o mărime observabilă și nicio mărime observabilă nu poate lua valori infinite, nu o riglă care ar permite măsurarea unei lungimi infinite. Acesta este un lucru irealizabil, atunci la ce folosește această formulă? Sensul este simplu. Pentru orice conductor, următoarele vor fi adevărate: suficient de aproape de conductor, liniile de câmp magnetic sunt astfel de cercuri închise care acoperă conductorul și la distanță.

(R- raza de curbură a conductorului), această formulă va fi valabilă.

Câmpul magnetic creat de un conductor care transportă curent arbitrar.

Legea lui Bio-Savart.

P Să presupunem că avem un conductor arbitrar cu curent și ne interesează câmpul magnetic creat de o bucată din acest conductor într-un punct dat. Apropo, cum am găsit un câmp electric creat de un fel de distribuție a sarcinii în electrostatică? Distribuția a fost împărțită în elemente mici și câmpul din fiecare element a fost calculat în fiecare punct (conform legii Coulomb) și însumat. Același program este aici. Structura unui câmp magnetic este mai complicată decât a unuia electrostatic, apropo, nu este potențial, un câmp magnetic închis nu poate fi reprezentat ca gradient al unei funcții scalare, are o structură diferită, dar ideea este aceeași . Împărțim conductorul în elemente mici. Aici am luat un mic element

, poziția acestui element este determinată de vectorul rază , iar punctul de observație este dat de vectorul rază . Se afirmă că acest element al conductorului va crea o inducție în acest punct dupa aceasta reteta:

. De unde aceasta reteta? A fost găsit experimental la un moment dat, îmi este greu, apropo, să-mi imaginez cum a fost posibil să găsesc experimental o formulă atât de complicată cu un produs vectorial. De fapt, aceasta este o consecință a celei de-a patra ecuații Maxwell

. Atunci câmpul generat de întregul conductor este:

, sau, acum putem scrie integrala:

. Este clar că calcularea unei astfel de integrale pentru un conductor arbitrar nu este o sarcină foarte plăcută, dar sub forma unei sume aceasta este o sarcină normală pentru un computer.

Exemplu. Câmpul magnetic al unei bobine circulare cu curent.

P gura în avion YZ există o bobină de sârmă cu raza R, prin care circulă un curent de forță . Suntem interesați de câmpul magnetic care creează curentul. Liniile de forță din apropierea bobinei sunt:

Imaginea generală a liniilor de câmp este de asemenea vizibilă ( fig.7.10).

P despre idee, ne-ar interesa domeniul

, dar este imposibil de precizat domeniul acestei bobine în funcții elementare. Poate fi găsit doar pe axa de simetrie. Căutăm un câmp la puncte ( X,0,0).

direcția vectorială este determinată de produsul vectorial

. Vector are doua componente:

Și . Când începem să însumăm acești vectori, atunci toate componentele perpendiculare se adună la zero.

. Și acum scriem:

,

=, și

.

și în cele din urmă 1),

.

Am obtinut acest rezultat:

Și acum, ca test, câmpul din centrul bobinei este:

.

Câmpul unui solenoid lung.

Un solenoid este o bobină pe care este înfășurat un conductor.

M se formează câmpul magnetic din bobine și nu este greu de ghicit că structura liniilor de câmp este următoarea: ele merg dens în interior și apoi rar. Adică, pentru un solenoid lung afară, vom presupune =0 și în interiorul solenoidului =const. În interiorul unui solenoid lung, ei bine, în cartier. Să presupunem că mijlocul său, câmpul magnetic este aproape uniform, iar în afara solenoidului acest câmp este mic. Apoi putem găsi acest câmp magnetic în interior după cum urmează: aici iau un astfel de circuit ( fig.7.13), iar acum scriem:

1)





.

este o încărcare completă. Această suprafață este străpunsă de bobine

(încărcare completă)=

(numărul de spire care străpunge această suprafață).

Obținem această egalitate din legea noastră:

, sau

.

Câmp la o distanță mare de distribuția limitată a curentului.

Moment magnetic

Însemnând că curenții curg într-o zonă limitată a spațiului, atunci există o rețetă simplă pentru găsirea câmpului magnetic care creează această distribuție limitată. Ei bine, apropo, orice sursă se încadrează în acest concept de spațiu limitat, așa că nu există nicio îngustare aici.

Dacă dimensiunea caracteristică a sistemului , apoi

. Permiteți-mi să vă reamintesc că am rezolvat o problemă similară pentru un câmp electric creat de o distribuție limitată a sarcinii și a apărut conceptul de moment dipol și momente de ordin superior. Nu voi rezolva această problemă aici.

P Prin analogie (cum se face în electrostatică) se poate demonstra că câmpul magnetic dintr-o distribuție limitată la distanțe mari este similar cu câmpul electric al unui dipol. Adică, structura acestui câmp este următoarea:

Distribuția este caracterizată de un moment magnetic .Moment magnetic

, Unde este densitatea curentului sau, dacă luăm în considerare că avem de-a face cu particule încărcate în mișcare, atunci putem exprima această formulă pentru un mediu continuu în termeni de încărcare a particulelor în acest fel:

. Ce reprezintă această sumă? Repet, distribuția curentă este creată de faptul că aceste particule încărcate se mișcă. Vector rază i a-a particulă înmulțită vectorial cu viteza i particula și toate acestea sunt înmulțite cu sarcina acesteia i-a particulă.

Apropo, am avut un astfel de design în mecanică. Dacă în loc de o taxă fără multiplicator scrieți masa particulei, ce va reprezenta ea? Momentul unghiular al sistemului.

Dacă avem particule de același fel (

, de exemplu, electroni), atunci putem scrie



. Aceasta înseamnă că, dacă curentul este creat de particule de același tip, atunci momentul magnetic este pur și simplu legat de momentul unghiular al acestui sistem de particule.

Un câmp magnetic, creat de acest moment magnetic este egal cu:

(8.1 )

Momentul magnetic al unei bobine cu curent

P avem o bobină și prin ea circulă un curent de forță . Vector este diferit de zero în interiorul bobinei. Să luăm un element din această bobină ,

, Unde S este secțiunea transversală a bobinei și este vectorul tangent unitar. Atunci momentul magnetic este definit după cum urmează:

. Ce este

? Acesta este un vector direcționat de-a lungul vectorului normal către planul bobinei . Și produsul încrucișat a doi vectori este de două ori mai mare decât aria triunghiului construit pe acești vectori. Dacă dS este aria triunghiului construit pe vectori Și , apoi

. Apoi scriem momentul magnetic egal. Mijloace,

(momentul magnetic al unei bobine cu curent) \u003d (puterea curentului) (zona bobinei) (normal la bobină) 1) .

Și acum formulăm ( 8.1 ) este aplicabilă pentru o buclă de curent și este comparabilă cu ceea ce am obținut data trecută, doar pentru a verifica formula, deoarece am orbit această formulă prin analogie.

Să avem la origine o bobină de formă arbitrară, prin care circulă un curent de forță , apoi câmpul într-un punct aflat la distanță. X este egal cu: (

). Pentru o întoarcere rotundă

,

. La ultima prelegere, am găsit câmpul magnetic al unei bobine rotunde cu un curent, la

aceste formule se potrivesc.

La distanțe mari de orice distribuție a curentului, câmpul magnetic este găsit prin formula ( 8.1 ), iar toată această distribuție este caracterizată de un vector, care se numește momentul magnetic. Apropo, cea mai simplă sursă a unui câmp magnetic este un moment magnetic. Pentru un câmp electric, cea mai simplă sursă este un monopol, pentru un câmp electric, următoarea sursă cea mai complexă este un dipol electric, iar pentru un câmp magnetic, totul începe cu acest dipol sau moment magnetic. Vă atrag încă o dată atenția asupra acestui lucru, în măsura în care acești monopoluri nu există. Dacă ar exista un monopol, atunci totul ar fi la fel ca într-un câmp electric. Și astfel avem cea mai simplă sursă a unui câmp magnetic este un moment magnetic, un analog al unui dipol electric. Un bun exemplu de moment magnetic este un magnet permanent. Un magnet permanent are un moment magnetic, iar la mare distanță câmpul său are următoarea structură:

Forță care acționează asupra unui conductor care poartă curent într-un câmp magnetic

Am văzut că o particulă încărcată este acționată de o forță egală cu

. Curentul din conductor este rezultatul mișcării particulelor încărcate ale corpului, adică nu există o sarcină distribuită uniform în spațiu, sarcina este localizată în fiecare particulă. densitatea curentă

. Pe i-a-a particulă este afectată de forță

.

ÎN alegeți elementul de volum

și însumăm forțele care acționează asupra tuturor particulelor acestui element de volum

. Forța care acționează asupra tuturor particulelor dintr-un element de volum dat este definită ca densitatea de curent asupra câmpului magnetic și asupra valorii elementului de volum. Acum să o rescriem în formă diferențială:

, prin urmare

- acest densitatea forței, forța care acționează pe unitatea de volum. Apoi obținem formula generală pentru forță:

.

DESPRE De obicei, curentul trece prin conductori liniari, rareori întâlnim cazuri în care curentul este cumva mânjit peste volum. Deși, apropo, Pământul are un câmp magnetic, dar din ce provine acest câmp? Sursa câmpului este momentul magnetic, ceea ce înseamnă că Pământul are un moment magnetic. Și asta înseamnă că acea rețetă a momentului magnetic arată că trebuie să existe niște curenți în interiorul Pământului, trebuie neapărat să fie închise, pentru că nu poate exista un câmp deschis staționar. De unde vin acești curenti, ce îi susține? Nu sunt un expert în magnetism terestru. Cu ceva timp în urmă, nu exista un model definit al acestor curenți. Ar fi putut fi induși acolo la un moment dat și nu avuseseră încă timp să moară acolo. De fapt, un curent poate fi excitat într-un conductor și apoi se termină rapid de la sine datorită absorbției de energie, eliberării de căldură și așa mai departe. Dar când avem de-a face cu volume precum Pământul, atunci există timpul de dezintegrare al acestor curenți, odată excitați de un mecanism, acest timp de dezintegrare poate fi foarte lung și poate dura pentru epocile geologice. Poate că așa stau lucrurile. Ei bine, să presupunem că un obiect mic precum Luna are un câmp magnetic foarte slab, ceea ce înseamnă că a murit deja acolo, să spunem că câmpul magnetic al lui Marte este, de asemenea, mult mai slab decât câmpul Pământului, pentru că Marte este și mai mic decât Pământ. Pentru ce sunt? Desigur, există cazuri când curenții curg în volume, dar ceea ce avem aici pe Pământ sunt de obicei conductori liniari, așa că acum vom transforma această formulă în raport cu un conductor liniar.

P Dacă există un conductor liniar, curentul circulă cu forță. Selectați un element al conductorului , volumul acestui element dV,

,

. Forța care acționează asupra unui element conductor

perpendicular pe planul triunghiului construit pe vectori Și , adică direcționată perpendicular pe conductor, iar forța totală se găsește prin însumare. Iată două formule pentru a rezolva această problemă.

Moment magnetic într-un câmp extern

Momentul magnetic în sine creează un câmp, acum nu luăm în considerare propriul său câmp, dar ne interesează cum se comportă momentul magnetic atunci când este plasat într-un câmp magnetic extern. Momentul magnetic este acţionat de un moment de forţă egal cu

. Momentul de forță va fi direcționat perpendicular pe tablă, iar acest moment va tinde să întoarcă momentul magnetic de-a lungul liniei de forță. De ce acul busolei indică spre polul nord? Ei, desigur, nu-i pasă de polul geografic al Pământului, acul busolei este orientat de-a lungul liniei câmpului magnetic, care, din motive aleatorii, apropo, este îndreptată aproximativ de-a lungul meridianului. Din cauza a ce? Și are un moment. Când săgeata, momentul magnetic, care coincide în direcția cu săgeata însăși, nu coincide cu linia de forță, apare un moment care o întoarce pe această linie. Acolo unde momentul magnetic provine de la acul busolei, vom discuta despre asta mai târziu.

LA În plus, asupra momentului magnetic acționează o forță egal cu

. Dacă momentul magnetic este îndreptat de-a lungul , atunci forța atrage momentul magnetic într-o regiune cu o inducție mai mare. Aceste formule sunt similare cu modul în care un câmp electric acționează asupra unui moment dipol, unde, de asemenea, momentul dipol se orientează de-a lungul câmpului și este tras într-o regiune cu o intensitate mai mare. Acum putem lua în considerare problema câmpului magnetic în materie.

Câmp magnetic în materie

DAR volumele pot avea momente magnetice. Momentele magnetice ale atomilor sunt legate de momentul unghiular al electronilor. Formula a fost deja obținută

, Unde este momentul unghiular al particulei care creează curentul. Într-un atom avem un nucleu pozitiv și un electron e, orbitând, de fapt, în timp util vom vedea că această imagine nu are legătură cu realitatea, nu așa poate fi reprezentat un electron care se rotește, dar rămâne că un electron dintr-un atom are un moment unghiular, iar acest unghiular. impulsul va corespunde unui astfel de moment magnetic:

. În mod clar, o sarcină care se rotește într-un cerc este echivalentă cu un curent circular, adică este o rotație elementară cu un curent. Momentul unghiular al unui electron dintr-un atom este cuantificat, adică poate lua doar anumite valori, conform acestei rețete:

,

, unde este această valoare este constanta lui Planck. Momentul unghiular al unui electron dintr-un atom poate lua doar anumite valori, nu vom discuta acum cum se obține acest lucru. Ei bine, și ca urmare, momentul magnetic al atomului poate lua anumite valori. Aceste detalii nu ne privesc acum, dar cel putin ne vom imagina ca un atom poate avea un anumit moment magnetic, sunt atomi care nu au moment magnetic. Apoi substanța plasată în câmpul exterior este magnetizată, ceea ce înseamnă că capătă un anumit moment magnetic datorită faptului că momentele magnetice ale atomilor sunt orientate în principal de-a lungul câmpului.

Element de volum dV capătă un moment magnetic

, unde vectorul are semnificația densității momentului magnetic și se numește vector de magnetizare. Există o clasă de substanțe numite paramagneti, pentru care

, este magnetizat astfel încât momentul magnetic să coincidă cu direcția câmpului magnetic. Disponibil diamagneti, care sunt magnetizate, ca să spunem așa, „contra firului”, adică momentul magnetic este antiparalel cu vectorul , mijloace,

. Acesta este un termen mai subtil. Ce vector paralel cu vectorul Este clar că momentul magnetic al unui atom este orientat de-a lungul câmpului magnetic. Diamagnetismul este legat de altceva: dacă un atom nu are un moment magnetic, atunci într-un câmp magnetic extern capătă un moment magnetic, iar momentul magnetic este antiparalel . Acest efect foarte subtil se datorează faptului că câmpul magnetic afectează planurile orbitelor electronilor, adică afectează comportamentul momentului unghiular. Un paramagnet este atras într-un câmp magnetic, un diamagnet este împins afară. Aici, ca să nu aibă sens, cuprul este un diamagnet, iar aluminiul este un paramagnet, dacă iei un magnet, atunci tortul de aluminiu va fi atras de magnet, iar apoi tortul de cupru va fi respins.

Este clar că câmpul rezultat, atunci când o substanță este introdusă într-un câmp magnetic, este suma câmpului extern și a câmpului creat datorită momentului magnetic al substanței. Acum să ne uităm la ecuație

, sau sub formă diferenţială

. Acum aceasta afirmatie: magnetizarea unei substanțe echivalează cu inducerea unui curent în ea cu o densitate

. Apoi scriem această ecuație sub forma

.

Să verificăm dimensiunile: M este momentul magnetic pe unitatea de volum

, dimensiune

. Când scrii orice formulă, este întotdeauna util să verifici dimensiunea, mai ales dacă formula este propriul tău pui, adică nu ai copiat-o, nu ti-ai amintit, dar ai primit-o.

H magnetizarea este caracterizată de vector , se numește vector de magnetizare, este densitatea momentului magnetic sau momentul magnetic pe unitatea de timp. Am spus că magnetizarea este echivalentă cu apariția curentului

, așa-numitul curent molecular, iar această ecuație este echivalentă cu:

, adică putem presupune că nu există magnetizare, dar există astfel de curenți. Să folosim această ecuație:

,sunt curenții reali asociați cu purtători de sarcină specifici și aceștia sunt curenții asociați magnetizării. Un electron dintr-un atom este un curent circular, să luăm zona din interior, în interiorul probei toți acești curenți sunt distruși, dar prezența unor astfel de curenți circulari este echivalentă cu unul. curent total, care curge în jurul acestui conductor la suprafață, de unde o astfel de formulă. Să rescriem această ecuație după cum urmează:

,

. Acest trimite de asemenea la stânga și denotă

, vector numit intensitatea câmpului magnetic, atunci ecuația va lua forma

. (circulația intensității câmpului magnetic într-o buclă închisă) = (intensitatea curentului prin suprafața acestei bucle).

Ei bine, și, în sfârșit, ultimul. Avem aceasta formula:

. Pentru multe medii, magnetizarea depinde de intensitatea câmpului,

, Unde –susceptibilitate magnetică, este un coeficient care caracterizează tendința unei substanțe de a magnetiza. Apoi această formulă poate fi rescrisă sub formă

,

–permeabilitatea magnetică, și obținem următoarea formulă:

.

Dacă

, atunci aceștia sunt paramagneți,

- acestea sunt diamagneți, ei bine, și, în sfârșit, există substanțe pentru care acest lucru ia valori mari (aproximativ 10 3),

sunt feromagneți (fier, cobalt și nichel). Feromagneții sunt remarcabili în acest sens. Că nu sunt doar magnetizate într-un câmp magnetic, ci se caracterizează prin magnetizare reziduală, dacă a fost deja magnetizată o dată, atunci dacă câmpul exterior este îndepărtat, acesta va rămâne magnetizat, spre deosebire de dia- și paramagneți. Un magnet permanent este un feromagnet, care, fără un câmp extern, este magnetizat de la sine. Apropo, există analogi ale acestui caz în electricitate: există dielectrici care sunt polarizați singuri, fără niciun câmp extern. În prezența materiei, ecuația noastră fundamentală ia următoarea formă:

,

,

.

DAR iată altul exemplu feromagnet, un exemplu de uz casnic al unui câmp magnetic în media, în primul rând, un magnet permanent, ei bine, și un lucru mai subtil - o bandă. Care este principiul înregistrării pe bandă? Casetofonul este o bandă subțire acoperită cu un strat de feromagnet, capul de înregistrare este o bobină cu un miez pe care curge curent alternativ, în gol se creează un câmp magnetic alternativ, curentul urmărește semnalul sonor, oscilații cu o anumită frecvență. În consecință, există un câmp magnetic alternativ în circuitul magnetic, care se modifică odată cu același curent. Un feromagnet este magnetizat de un curent alternativ. Când această bandă este trasă peste acest tip de dispozitiv, câmpul magnetic alternant produce o fem alternativă. iar semnalul electric este reprodus din nou. Aceștia sunt feromagneți la nivel de gospodărie.

Legea Biot-Savart-Laplace pentru conductor cu curent eu, al cărui element d l creează la un moment dat DAR(Fig. 164) inducția câmpului d B, este scris ca

unde D l- vector, modulo egal cu lungimea d l element al conductorului și care coincide în direcția curentului, r- vector rază,

extras din elementul d l ghid la obiect DAR câmpuri, r- modulul razei-vector r. Directia d B perpendicular pe d lȘi r, adică perpendicular pe planul în care se află și coincide cu tangenta la linia de inducție magnetică. Această direcție poate fi găsită prin regula pentru găsirea liniilor de inducție magnetică (regula șurubului drept): sensul de rotație al capului șurubului dă direcția d B, dacă mișcarea de translație a șurubului corespunde direcției curentului în element.

Modulul vectorului d B este definit de expresia

unde a este unghiul dintre vectorii dl și r.

Pentru un câmp magnetic, precum și pentru un câmp electric, principiul suprapunerii: inducția magnetică a câmpului rezultat creat de mai mulți curenți sau sarcini în mișcare este egală cu suma vectorială a inducțiilor magnetice ale câmpurilor adăugate create de fiecare curent sau sarcină în mișcare separat:

Calculul caracteristicilor câmpului magnetic ( ÎNȘi H) conform formulelor de mai sus este în general destul de complicată. Totuși, dacă distribuția curentă are o anumită simetrie, atunci aplicarea legii Biot-Savart-Laplace, împreună cu principiul suprapunerii, face destul de ușor calcularea câmpurilor specifice. Să luăm în considerare două exemple.

1. Câmp magnetic de curent continuu - curent care curge printr-o linie dreaptă subțire apă de lungime infinită (Fig. 165). Într-un punct arbitrar DAR,îndepărtat de axa conductorului la distanță R, vectori d B din toate elementele curente au aceeași direcție, perpendiculară pe planul desenului („la noi”). Prin urmare, adăugarea vectorilor d B pot fi înlocuite prin adăugarea modulelor lor. Ca constantă de integrare, alegem unghiul a (unghiul dintre vectorii d lȘi r), exprimând toate celelalte mărimi în termenii acesteia. Din fig. 165 rezultă că

(raza arcului CD datorită micii lui d l egală r,și unghi FDC din acelaşi motiv poate fi considerat direct). Înlocuind aceste expresii în (110.2), obținem că inducția magnetică creată de un element al conductorului este egală cu

Deoarece unghiul a pentru toate elementele de curent continuu variază de la 0 la z, atunci, conform (110.3) și (110.4),

Prin urmare, inducția magnetică a câmpului de curent continuu

2. Câmp magnetic în centrul unui conductor circular cu curent(Fig. 166). După cum reiese din figură, toate elementele unui conductor circular cu curent creează un câmp magnetic în centrul aceleiași direcții - de-a lungul normalului de la bobină.

Prin urmare, adăugarea vectorilor d B pot fi înlocuite prin adăugarea modulelor lor. Deoarece toate elementele conductorului sunt perpendiculare pe vectorul rază (sina=1) și distanța tuturor elementelor conductorului la centrul curentului circular este aceeași și egală cu R, apoi, conform (110.2),

În consecință, inducția magnetică a câmpului în centrul unui conductor circular cu curent

18. Fluxul unui câmp magnetic. Teorema lui Gauss pentru Ḃ.

Fluxul vectorului de inducție magnetică (flux magnetic) prin platformă scalar , unde este unghiul dintre vectori (vector normal față de planul conturului) și .

Unitate: weber (Wb). .

Pentru câmp omogen si o suprafata plana perpendiculara pe vector : . flux magnetic printr-o suprafață cu o suprafață se găsește prin însumarea algebrică a fluxurilor prin secțiunile de suprafață.

Teorema lui Gauss: fluxul vectorului de inducție magnetică prin orice suprafață închisă este egal cu zero: .

Această teoremă reflectă faptul că absența sarcinilor magnetice, drept urmare liniile de inducție magnetică nu au nici început, nici sfârșit și sunt închise.

19. Teorema privind circulația vectorului Ḃ, aplicarea lui la calculul câmpurilor. câmp solenoid.

Teorema circulației vectoriale ÎN are aceeași semnificație în doctrina câmpului magnetic ca și teorema lui Gauss în electrostatică, deoarece vă permite să găsiți inducția magnetică a câmpului fără a aplica legea Biot-Savart-Laplace.

1). Să demonstrăm validitatea teoremei asupra circulației vectorului ÎN pe exemplul unui câmp magnetic de curent continuu 1 , perpendicular pe planul desenului şi îndreptat spre noi (Fig. 13). Imaginează-ți un contur închis sub forma unui cerc cu rază r. În fiecare punct al acestui contur, vectorul ÎN egală în valoare absolută și îndreptată tangențial la cerc. Prin urmare, circulația vectorului ÎN este egal cu

Fig.13. Fig.14 .

Conform expresiei (9.2), obținem ÎN 2π r= μo eu(în vid), de unde ÎN= μo eu/(2π r).

Astfel, pe baza teoremei circulației vectoriale ÎN, a obținut expresia pentru inducția magnetică a câmpului de curent continuu, derivată mai sus (2.6).

2). Calculați inducția câmpului magnetic în interior solenoid – o bobină cilindrică constând dintr-un număr mare de spire înfășurate uniform pe un miez comun. Luați în considerare un solenoid de lungime l având n bobine prin care trece curentul eu(Fig. 14). Considerăm că lungimea solenoidului este de multe ori mai mare decât diametrul spirelor sale, adică. solenoidul luat în considerare este infinit de lung. Un studiu experimental al câmpului magnetic al solenoidului, efectuat cu pilitura de fier, arată că câmpul este uniform în interiorul solenoidului, neuniform și foarte slab în exteriorul solenoidului, adică. practic poate fi considerat egal cu zero.

Circulația vectorială ÎN de-a lungul unui circuit închis care coincide cu una dintre liniile de inducție magnetică, ABCDA, și acoperind toate n se întoarce conform (9.2), este egal cu

. (10.1)

Integral peste ABCDA poate fi reprezentat sub formă de doi - în secțiunea exterioară ABCD(este egal cu zero, deoarece în afara solenoidului ÎN=0) și interne DA.

.

Locația activată DA circulație vectorială ÎN este egal cu Вl(conturul coincide cu linia de inducție magnetică); Prin urmare,

.

De aici ajungem la o expresie pentru magnetic inducția câmpului în interiorul solenoidului(în vid):

B=μ o nI/ l. (10.2)

Am constatat că câmpul din interiorul solenoidului este uniform.

3). Câmpul magnetic este, de asemenea, important pentru practică. toroid – bobina de inel, ale căror spire sunt înfăşurate pe un miez având formă de tor. Câmpul magnetic este concentrat în interiorul toroidului, nu există câmp în afara acestuia. Toroidul poate fi considerat ca un solenoid suficient de lung răsucit într-un inel și pentru a calcula intensitatea câmpului magnetic al toroidului, utilizați formula (10.2):

ÎN= μ o nI/l= μ o nI/(2relatii cu publicul). (10.3)

Putere amperi.

Forța amperului este forța cu care un câmp magnetic acționează asupra unui conductor purtător de curent plasat în acest câmp. Mărimea acestei forțe poate fi determinată folosind legea lui Ampère. Această lege definește o forță infinit de mică pentru o secțiune infinit de mică a conductorului. Acest lucru face posibilă aplicarea acestei legi la conductori de diferite forme.

Formula 1 - Legea lui Ampère

B inducerea câmpului magnetic în care se află un conductor cu curent

eu curent într-un conductor

dl un element infinitezimal al lungimii unui conductor de curent

alfa unghiul dintre inducția unui câmp magnetic extern și direcția curentului într-un conductor

Direcția forței lui Ampere se găsește după regula mâinii stângi. Formularea acestei reguli este următoarea. Când mâna stângă este poziționată în așa fel încât liniile de inducție magnetică ale câmpului extern să intre în palmă, iar patru degete întinse indică direcția fluxului de curent în conductor, în timp ce degetul mare îndoit în unghi drept va indica direcția. a forţei care acţionează asupra elementului conductor.

Figura 1 - regulă pentru mâna stângă

Unele probleme apar la utilizarea regulii mâinii stângi dacă unghiul dintre inducția câmpului și curent este mic. Este dificil de determinat unde ar trebui să fie palma deschisă. Prin urmare, pentru ușurința aplicării acestei reguli, palma poate fi poziționată astfel încât să includă nu vectorul de inducție magnetică în sine, ci modulul său.

Din legea lui Ampère rezultă că forța Ampere va fi zero dacă unghiul dintre linia de inducție magnetică a câmpului și curent este zero. Adică, conductorul va fi amplasat de-a lungul unei astfel de linii. Și forța Amperi va avea valoarea maximă posibilă pentru acest sistem dacă unghiul este de 90 de grade. Adică, curentul va fi perpendicular pe linia de inducție magnetică.

Folosind legea lui Ampere, puteți găsi forța care acționează într-un sistem de doi conductori. Imaginează-ți doi conductori infinit de lungi care sunt la distanță unul de celălalt. Prin acești conductori circulă curent. Forța care acționează din partea câmpului creat de conductorul cu curentul numărul unu pe conductorul numărul doi poate fi reprezentată ca.

Valoarea inducției magnetice pentru orice conductor este determinată de legea Biot - Savart - Laplace.

-în formă vectorială, (15.6)

- în formă scalară. (15,7)

Vectorul este întotdeauna perpendicular pe planul construit pe vectorii și . Folosind legea Biot - Savart - Laplace, calculăm inducerea magnetică a câmpului de curenți continui, circulari și solenoizi.

Derivarea formulei intensității câmpului magnetic de curent continuu (Fig. 15.9; Fig. 15.10).

Să aplicăm formula

pentru a calcula câmpurile celor mai simpli curenți. Luați în considerare câmpul creat de un curent care curge printr-un fir drept infinit (Fig. 15.9) Toți dB la un punct dat au aceeași direcție. Prin urmare, adăugarea vectorilor dB poate fi înlocuită cu adăugarea modulelor acestora. Punctul pentru care calculăm inducția magnetică se află la o distanță b de fir. Figura 15.9 arată că:

Să înlocuim aceste valori în formula de inducție magnetică:

.

Unghiul pentru toate elementele de curent continuu infinit variază de la 0 la . Prin urmare:

.

Astfel, inducția magnetică a câmpului de curent continuu este determinată de formula: . (15.8)

Pentru a obține intensitatea câmpului magnetic, este necesar să împărțiți partea dreaptă a formulei (15.8) la:

. (15.9)

Derivarea formulei pentru intensitatea câmpului magnetic al curentului circular (Fig. 15.11).

Luați în considerare câmpul creat de un curent care curge printr-un fir subțire care are forma unui cerc (curent circular). Să definim inducția magnetică a curentului circular

Luați în considerare inducțiile creat de două elemente de contur dl 1 şi dl 2 . Deoarece unghiul dintre r și dl este de 90°, atunci sin 90°=1.

Legea Biot - Savart - Laplace pentru două elemente:

Prin alegere dl 1 =dl 2și presupunând că r 1 = r 2, primim:

Integram această expresie pe întregul contur și înlocuim r cu primim:

(15.10)

În special, pentru x=0 avem:

(15.11)

inducția magnetică în centrul curentului circular

Intensitatea câmpului magnetic în centrul curentului circular este:

(15.12)

Formula pentru calcularea intensității câmpului magnetic al unui curent circular pe axa sa ia forma:

(15.13)

Derivarea formulei pentru intensitatea câmpului magnetic al curentului solenoidal.

Solenoidul este un fir subțire înfășurat strâns, bobină la bobină, pe un cadru cilindric. În ceea ce privește câmpul pe care îl creează, solenoidul este echivalent cu un sistem de curenți circulari identici cu o axă dreaptă comună. Un solenoid infinit de lung este simetric față de orice plan perpendicular pe axa sa. Luate în perechi, simetrice față de un astfel de plan, spirele creează un câmp a cărui inducție magnetică este perpendiculară pe plan. Prin urmare, în orice punct din interiorul și exteriorul solenoidului, vectorul poate avea doar o direcție paralelă cu axa.

Luați un contur dreptunghiular 1-2-3-4. Circulația unui vector de-a lungul acestui contur poate fi reprezentată astfel:

Dintre cele patru integrale din partea dreaptă, a doua și a patra sunt egale cu zero, deoarece vectorul este perpendicular pe secțiunile conturului de-a lungul cărora sunt luate.

Luând secțiunea 3-4 la mare distanță de solenoid (unde câmpul trebuie să fie evident foarte slab), al treilea termen poate fi neglijat. Prin urmare, se poate argumenta că:

Aici B este inducția magnetică a câmpului în acele puncte în care se află segmentul 1-2, este lungimea acestui segment.

Dacă segmentul 1-2 trece în interiorul solenoidului la orice distanță de axa acestuia, circuitul acoperă curentul total, unde este numărul de spire a solenoidului pe unitatea de lungime a acestuia, este curentul în solenoid. Prin urmare, conform:

Unde: (15.14)

iar puterea câmpului magnetic al curentului solenoidal este egală cu:

(15.15)

Rețineți că rezultatul nostru nu depinde de cât de departe de axă (dar în interiorul solenoidului) se află segmentul 1-2. Dacă acest segment este situat în afara solenoidului, atunci curentul acoperit de circuit este zero, drept urmare:

.

Unde B=0. Astfel, în afara unui solenoid lung infinit, inducția magnetică este zero, în interiorul acestuia este aceeași peste tot și are o valoare determinată de formula (15.14). Din acest motiv, un solenoid infinit de lung joacă același rol în teoria magnetismului ca și un condensator plat în teoria electricității. În ambele cazuri, câmpul este uniform și complet închis în condensator (electric) și în solenoid (magnetic).

Produsul se numește numărul de amperi - spire pe metru.

Teste pentru prelegerea nr. 15

Testul 15.1.Inducția magnetică a câmpului creat de un segment al unui conductor rectiliniu infinit subțire se calculează prin formula...

£

£

£

£

Testul 15.2.Inducția magnetică la centrul curentului circular este determinată de formula...

£

£

£

£

Testul 15.3.Forma de existenta a materiei, care are proprietatea de a transmite interactiunea magnetica.

£ câmp magnetic

£ inducție magnetică

£ circuit de probă

£ moment magnetic

Test 15.4 Definiți un circuit de probă.

£ contur care introduce interferenţă în câmpul original.

£ contur care îmbunătățește câmpul original.

£ contur slăbirea câmpului iniţial.

£ contur care nu creează o distorsiune vizibilă a câmpului original.

Testul 15.5 Formula exprimă:

£ vector de inducție magnetică

£ intensitatea câmpului magnetic

£ inducție magnetică

£ moment magnetic

Natura vortex a câmpului magnetic. Circulația vectorului de inducție a câmpului magnetic. flux magnetic. Putere amperi. Lucrați la deplasarea unui conductor cu curent într-un câmp magnetic. forța Lorentz. Determinarea sarcinii specifice a unui electron

16.1. Natura vortex a câmpului magnetic. Circulația vectorului de inducție a câmpului magnetic. flux magnetic

16.2. Puterea amplificatorului

16.3. Lucrați la deplasarea unui conductor cu curent într-un câmp magnetic

16.4. forța Lorentz

16.5. Determinarea sarcinii specifice a unui electron